$\bullet$ Theo bất đẳng thức bunhiacopxki :

`(1/a+25/b+64/c)(4a+9b+16c)>=(\sqrt{1/a . 4a}+\sqrt{25/b . 9b}+\sqrt{64/c . 16c})^2 =(2+15+32)^2 =49^2`

`=>49(1/a+25/b+64/c)>=49.4 ...

Đặt `(a,b)=(x/(y+z),y/(z+x))`, khi đó thay vào biểu thức `ab+bc+ca+2abc=1`, ta được `c=z/(x+y)`

Do đó luôn tồn tại `(a,b,c)=(x/(y+z),y/(z+x),z/(x+y))` thỏa m&atild ...

$\bullet$ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho bộ `3` số thực `a,b,c>0`, ta có :

`(a+1/b)(b+1/c)(c+1/a)>=2\sqrt{a. 1/b} . 2\sqrt{b. 1/c} . 2\sqrt{c. 1/a}`

`=8\sqrt{(abc ...

Đặt `(a^2,b^2,c^2)=(x,y,z)`, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành :

`\sqrt{x/(x+y)}+\sqrt{y/(y+z)}+\sqrt{z/(z+x)}<=3/(\sqrt{2})`

`<=>(\sqrt{x(y+z)(z+x)}+\sqrt{y(x+y) ...

Ta có : `a/(b+1)+b/(a+1)=(a/(b+1)+1)+(b/(a+1)+1)-2=(a+b+1)/(b+1)+(a+b+1)/(a+1)-2`

`=3/(a+1)+3/(b+1)-2=3(1/(a+1)+1/(b+1))-2`

`>=3 . 4/(a+1+b+1)-2=12/(a+b+2)-2=12/4-2=1` ( Cau ...

`x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}=3/2`

`<=>2x\sqrt{1-y^2}+2y\sqrt{1-z^2}+2z\sqrt{1-x^2}=3`

`<=>(x^2 -2x\sqrt{1-y^2}+1-y^2 )+(y^2 -2y\sqrt{1-z^2}+1-z^2)+(z^2 -2z\s ...

`ab+\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}=1` với `(a-1)(b-1)>=0`

`<=>\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}=1-ab`

`=>(1-a^2)(1-b^2)=(1-ab)^2` 

`<=>a^2 b^2 -a^2 -b^2 +1=a^2 b^2 -2ab+1`

Có : `(x+\sqrt{x^2 +2})(y+\sqrt{y^2 +2})=2`

`<=>xy+\sqrt{(x^2 +2)(y^2 +2)}+x\sqrt{y^2 +2}+y\sqrt{x^2 +2}=2`

`<=>xy+\sqrt{(x^2 +2)(y^2 +2)}=2-P`

Ta có ...

Có : `19+6\sqrt{10}=9+6\sqrt{10}+10=(3+\sqrt{10})^2`

$\bullet$ Hằng đẳng thức : `(a+b)^2 =a^2 +2ab+b^2` 

$\bullet$ Ta chứng minh bất đẳng thức : `(a^2)/x+(b^2)/y+(c^2)/z>=((a+b+c)^2)/(x+y+z)`

Trước tiên, ta sẽ chứng minh : `(a^2)/x+(b^2)/y>=((a+b)^2)/(x+y)`

`<=>(a^2 y+b ...