Đáp án `+` Giải thích các bước giải:

`A=a/(b+2c)+b/(c+2a)+c/(a+2b)`

`A=(a^2)/(ab+2ac)+(b^2)/(bc+2ab)+(c^2)/(ac+2bc)`

Áp dụng bất đẳng thức Svac-xơ cho các số dương, ta có:

`(a^2)/(ab+2ac)+(b^2)/(bc+2ab)+(c^2)/(ac+2bc)>=((a+b+c)^2)/(3(ab+bc+ac))`

hay `A>=(a^2 +b^2 +c^2 +2(ab+bc+ac))/(3(ab+bc+ac))`

`<=>A>=(1/2 (2a^2 +2b^2 +2c^2) +2(ab+bc+ac))/(3(ab+bc+ac))`

`<=>A>=(1/2 [(a^2 +b^2)+(b^2 +c^2)+(c^2 +a^2)]+3(ab+bc+ac))/(3(ab+bc+ac))` `(1)`

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho `2` số dương, ta có:

`a^2 +b^2 >=2\sqrt{a^2 b^2}=2ab`

`b^2 +c^2 >=2\sqrt{b^2 c^2}=2bc`

`c^2 +a^2 >=2\sqrt{c^2 a^2}=2ca`

Khi đó BĐT `(1)` trở thành:

`A>=(1/2 (2ab+2bc+2ca)+3(ab+bc+ac))/(3(ab+bc+ac))` 

`<=>A>= (3(ab+bc+ac))/(3(ab+bc+ac))=1`

`=>A>=1`

Dấu "=" xảy ra `<=>a=b=c>0`

Vậy `GTN N` của `A` là: `1` `<=>a=b=c>0`