`\sum_{cyc} a/\sqrt{a^2+b^2}`

`= \sum_{cyc} \sqrt{a^2/(a^2+b^2)}`
Đổi biến `(x,y,z) = (\sqrt{b^2/a^2},\sqrt{c^2/b^2},\sqrt{a^2/c^2})` `(x,y,z > 0; xyz = 1)` thì BĐT cần CM

`<=> \sum_{cyc} 1/\sqrt{1+x^2} le 3/sqrt2`

Không mất tính tổng quát giả sử `x = max{x;y;z}` ta có: `yz le 1`

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

`1/2 (1/\sqrt{1+y^2} + 1/\sqrt{1+z^2})^2 le 1/(1+y^2) + 1/(1+z^2) = 1 + (1-y^2z^2)/((1+y^2)(1+z^2))`

Tiếp tục áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: `(1+y^2)(1+z^2) ge (1+yz)^2`

`=> 1 + (1-y^2z^2)/((1+y^2)(1+z^2)) le 1 + (1-y^2z^2)/(1+yz)^2 = 2/(1+yz)`

Do đó: `1/\sqrt{1+y^2} + 1/\sqrt{1+z^2} le 2/\sqrt{1+yz}`

$\\$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: `\sqrt{1+x^2} ge \sqrt{(x+1)^2/2} = (x+1)/\sqrt{2}`

`=> 1/\sqrt{1+x^2} le \sqrt{2}/(1+x)`

Vậy ta cần CM điều sau đúng: `\sqrt{2}/(1+x) + 2/\sqrt{1+yz} le 3/\sqrt{2}`

Thật vậy, đến đây xét hiệu ta được: `(\sqrt{1+x} - \sqrt{2x})^2/(2(x+1)) ge 0` (đúng)

Hoàn tất chứng minh

Dấu $"="$ xảy ra `<=> a=b=c=1`