`x^2 + \sqrt{1-x} + \sqrt{3 + x} = 2x + 1`

ĐKXĐ: `-1/2 ≤ x ≤ 1`

`⇔ \sqrt{1-x} + \sqrt{3 + x} = -x^2 + 2x + 1`

`⇔ \sqrt{1-x} + \sqrt{3 + x} = -(x^2 - 2x + 1) + 2 ...

Ta có:

`f(x) = 2x + 1/x^2`

`= x + x + 1/x^2`

Áp dụng BĐT Cô - si, ta có:
`x + x + 1/x^2 ≥ 3\root{3}{x . x . 1/x} = 3`

Vậy GTNN của `f( ...

Đặt: `\root{3}{9 + 4\sqrt{5}} = a`

`\root{3}{9 - 4\sqrt{5}} = b`

Ta có:

`a^3 + b^3 = 9 + 4\sqrt{5} + (9 - 4\sqrt{5}) = 18`

`ab = \root{3}{(9 + 4\sqrt{5})(9 - 4\sq ...

Dự đoán điểm rơi: `a = 3`

Suy luận: Dấu $``$$="$ xảy ra khi:

`a = k . 1/a`

`⇒ 3 = k . 1/3`

`⇔ k = 9`

Từ đó ta có lời giải:

T ...

Ta có:

`\sqrt{x^3 + 1} = \sqrt{(x + 1)(x^2 - x + 1)}`

Áp dụng BĐT Cô - si, ta có:
`\sqrt{(x + 1)(x^2 - x + 1)} ≤ (x + 1 + x^2 - x + 1)/2 = (x^2 + 2) ...

`x^2 - 4x + 1 + \sqrt{3x - 1} = 0`

ĐKXĐ: `x ≥ 1/3`

`⇔ x^2 - x - (3x - 1) + \sqrt{3x - 1} = 0`

Đặt: `\sqrt{3x - 1} = t ≥ 0`, PT tương đương:

`x^2 - x - t^2 + t ...

$\bullet$ Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:
`(\sqrt{x + 3} + \sqrt{5 - x})^2 ≤ (1^2 + 1^2)[(\sqrt{x + 3})^2 + (\sqrt{5 - x})^2] = 2(x + 3 + 5 - x) = 16`

`⇔ \sqrt{x ...

Ta có:

`x^2 + xy + y^2`

`= 3/4 x^2 + 3/2 xy + 3/4 y^2 + 1/4 x^2 - 1/2 xy + 1/4 y^2`

`= 3/4 (x + y)^2 + 1/4 (x - y)^2 ≥ 3/4 (x + y)^2`

Dấu $``$$="$ xảy ra khi: ...

Ta có:

`y = f(x) = |2x + 1| + |2x - 3|`

          `= |2x + 1| + |3 - 2x|`

Áp dụng BĐT `|a| + |b| ≥ |a + b|`, ta có:

`|2x ...

Ta có:

`x + 1/(x - 1)`

`= (x - 1) + 1/(x - 1) + 1`

Áp dụng BĐT Cô - si, ta có:

`(x - 1) + 1/(x - 1) ≥ 2.\sqrt{(x - 1) . 1/(x - 1)} = 2`