Giải phương trình : `x^2 - 4x + 1 + sqrt(3x-1)=0`

`x^2 - 4x + 1 + \sqrt{3x - 1} = 0`

ĐKXĐ: `x ≥ 1/3`

`⇔ x^2 - x - (3x - 1) + \sqrt{3x - 1} = 0`

Đặt: `\sqrt{3x - 1} = t ≥ 0`, PT tương đương:

`x^2 - x - t^2 + t = 0`

`⇔ (x - t)(x + t) - (x - t) = 0`

`⇔ (x - t)(x + t - 1) = 0`

$\bullet\ \text{TH}_1: x - t = 0$

`⇔ x = t`

`⇔ x = \sqrt{3x - 1}`

ĐK: `x ≥ 0`

`⇔ x^2 = 3x - 1`

$⇔ x^2 - 3x + 1 = 0\ (1)$

Ta có: `Δ = (-3)^2 - 4 = 5 > 0`

PT `(1)` có `2` nghiệm phân biệt là:

$\left[\begin{matrix} x = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}\ \text{(TM)}\\ x = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}\ \text{(TM)} \end{matrix}\right.$

$\\$

$\bullet\ \text{TH}_2: x + t - 1 = 0$

`⇔ t = 1 - x`

`⇔ \sqrt{3x - 1} = 1 - x`

ĐK: `x ≤ 1`

`⇔ 3x - 1 = (1 - x)^2`

`⇔ x^2 - 5x + 2 = 0\ (2)`

Ta có: `Δ = (-5)^2 - 4.2.1 = 17 > 0`

PT `(2)` có `2` nghiệm phân biệt là:

$\left[\begin{matrix} x = \dfrac{5 + \sqrt{17}}{2}\ \text{(Loại)}\\ x = \dfrac{5 - \sqrt{17}}{2}\ \text{(TM)} \end{matrix}\right.$

Vậy nghiệm của PT là: `S = {(3 + \sqrt{5})/2; (3 - \sqrt{5})/2; (5 - \sqrt{17})/2}`