help

Ta có:

`x^2 + xy + y^2`

`= 3/4 x^2 + 3/2 xy + 3/4 y^2 + 1/4 x^2 - 1/2 xy + 1/4 y^2`

`= 3/4 (x + y)^2 + 1/4 (x - y)^2 ≥ 3/4 (x + y)^2`

Dấu $``$$="$ xảy ra khi: `x = y`

Áp dụng BĐT trên, ta có:

`a^2 + ab + b^2 ≥ 3/4 (a + b)^2`

`⇔ \sqrt{a^2 + ab + b^2} ≥ \sqrt{3/4 (a + b)^2} = \sqrt{3}/2 (a + b)`

Tương tự, ta CM được:

`\sqrt{b^2 + bc + c^2} ≥ \sqrt{3}/2 (b + c)`

`\sqrt{c^2 + ca + a^2} ≥ \sqrt{3}/2 (a + c)`

$\\$

`⇒ \sqrt{a^2 + ab + b^2} + \sqrt{b^2 + bc + c^2} + \sqrt{c^2 + ca + a^2}`

`≥ \sqrt{3}/2 (a + b) + \sqrt{3}/2 (b + c) + \sqrt{3}/2 (a + c) = \sqrt{3}/2 (a + b + b + c + a + c) = \sqrt{3} (a + b + c) = \sqrt{3}`

$\\$

Vậy GTNN của `P` là `\sqrt{3}` khi: `a = b = c = 1/3`