Giai phuong trinh........

`x^2 + \sqrt{1-x} + \sqrt{3 + x} = 2x + 1`

ĐKXĐ: `-1/2 ≤ x ≤ 1`

`⇔ \sqrt{1-x} + \sqrt{3 + x} = -x^2 + 2x + 1`

`⇔ \sqrt{1-x} + \sqrt{3 + x} = -(x^2 - 2x + 1) + 2`

$⇔ \sqrt{1-x} + \sqrt{3 + x} = 2 - (x - 1)^2\ (*)$

Áp dụng BĐT `\sqrt{a} + \sqrt{b} ≥ \sqrt{a + b}\ (` dấu $``$$="$ xảy ra khi: `ab=0)`, ta có:

`\sqrt{1-x} + \sqrt{3 + x} ≥ \sqrt{1-x+3+x}= 2`

Mà: `2 - (x - 1)^2 ≤  2`

`⇒` Để PT $(*)$ xảy ra thì:

$\begin{cases} (1-x)(3+x) = 0\\(x - 1)^2 = 0\\ \end{cases}$

`⇔ x = 1\ \text{(TM)}`

Vậy nghiệm của PT là: `S = {1}`