Bài 3. Cho $\triangle$ABC vuông tại A có ABC=60° và AC = 6cm . Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD=AB a) Tính số đo $\widehat{ACB}$, từ đó so sánh các cạnh của `\triangle`ABC. b) Chứng minh `\triangle`CAB = `\triangle`CAD và `\triangle`BCD cân. c) Gọi E là trung điểm của BC; DE cắt AC tại M. Chứng minh M là trọng tâm của `\triangle`BCD và tinh độ dài đoạn thẳng MC. d). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AD, qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AD, đường thẳng này cắt DC tại K. Chứng minh ba điểm B, M, K thẳng hàng.

a)

$\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90{}^\circ $

$\Rightarrow 60{}^\circ +\widehat{ACB}=90{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{ACB}=90{}^\circ -60{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{ACB}=30{}^\circ $

Vậy $\widehat{ACB}<\widehat{ABC}<\widehat{BAC}\,\,\,\left( 30{}^\circ <60{}^\circ <90{}^\circ  \right)$

Do đó $AB<AC<BC$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

b)

Xét $\Delta CAB$ và $\Delta CAD$, ta có:

   $CA$ cạnh chung

   $\widehat{CAB}=\widehat{CAD}=90{}^\circ $

   $AB=AD\left( gt \right)$

Nên $\Delta CAB=\Delta CAD\left( c.g.c \right)$

Do đó $CB=CD$

Vậy $\Delta BCD$ cân tại $C$

c)

Xét $\Delta BCD$ có $DE,CA$ là hai đường trung tuyến cắt nhau tại $M$

Nên $M$ là trọng tâm của $\Delta BCD$

Do đó $MC=\dfrac{2}{3}AC=\dfrac{2}{3}\cdot 6=4cm$

d)

Xét $\Delta KAD$ có $KH$ vừa là đường cao, đường trung tuyến

Nên $\Delta KAD$ cân tại $K$

$\Rightarrow \widehat{KAD}=\widehat{KDA}$

Mà $\widehat{KAD}+\widehat{KAC}=90{}^\circ $ và $\widehat{KDA}+\widehat{KCA}=90{}^\circ $

Nên $\widehat{KAC}=\widehat{KCA}$

$\Rightarrow \Delta KAC$ cân tại $K$

$\Rightarrow KA=KC$

Mà $KA=KD$ (vì $\Delta KAD$ cân tại $K$)

Nên $KC=KD\Rightarrow K$ là trung điểm của $CD$

Ta có $M$ là trọng tâm của $\Delta BCD$ $\left( cmt \right)$

Nên $BM$ đi qua trung điểm của $CD$

Mà $K$ là trung điểm của $\left( cmt \right)$

Vậy ba điểm $B,M,K$ thẳng hàng