Cho a , b , c là độ dài ba cạnh tam giác CMR: `(a + b - c) . (a + c - b) . (b + c - a) <=abc

Ta sẽ chứng minh BĐT sau:

`(x + y)^2 >= 4xy (1)`

Thật vậy, `(1)` tương đương với:

`x^2 + 2xy + y^2 >= 4xy`

`<=> x^2 - 2xy + y^2 >= 0`

`<=> (x - y)^2 >= 0` (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi: `x - y = 0 <=> x = y`

Áp dụng vào bài ta có:

`4(a + b - c)(a + c - b) <= (a + b - c + a + c - b)^2 = 4b^2`

Tương tự:

`4(a + b - c)(b + c - a) <= 4b^2`

`4(b + c - a)(a + c - b) <= 4c^2`

Nhân từng vế ba BĐT ta được:

`64[(a + b - c)(a + c - b)(b + c - a)]^2 <= 64(abc)^2`

`<=> (a + b - c)(a + c - b)(b + c - a) <= abc`

Dấu "=" xảy ra khi: `a = b = c.`