a,VÌ AD,BE,CF là đường cao của Δ ABC⇒AD⊥BC,BE⊥AC,CF⊥AB
Xét ΔBDA và ΔBFC có

      ∠BDA=∠BFC=90 (AD⊥BC,,CF⊥AB)

      ∠ABD=∠CBF(góc chung)
⇒ΔBDA ∽ ΔBFC(g.g)
⇒ $\frac{BD}{BF}$= $\frac{BA}{BC}$ (cặp cánh tương ứng tỉ lệ)
⇒$\frac{3}{BF}$=$\frac{5}{6}$ 

⇒BF=3,6cm

b,VÌ $\frac{BD}{BF}$= $\frac{BA}{BC}$

⇒$\frac{BD}{BA}$= $\frac{BF}{BC}$

Xét  ΔBFD và ΔBCA có

$\frac{BD}{BA}$= $\frac{BF}{BC}$(CMT)

∠DBF=∠ABC(góc chung)

⇒ΔBFD ∽ ΔBCA(c.g.c)⇒∠BDF = ∠BAC(cặp góc tương ứng) (1)
c, Xét ΔADC và ΔBEC có
∠ADC=∠BEC(AD⊥BC,BE⊥AC)

∠ACD=∠BCE(góc chung)
⇒ΔADC ∽ ΔBEC(g.g)
⇒$\frac{AC}{BC}$= $\frac{CD}{EC}$(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
=>$\frac{AC}{CD}$=$\frac{BC}{EC}$ 

Xét ΔABC và ΔDECcó
 $\frac{AC}{CD}$=$\frac{BC}{EC}$ (CMT)
 ∠ACB=∠DCE(góc chung)
⇒ΔABC ∽ ΔDEC(c.g.c)
⇒∠BAC=∠EDC(cặp góc tương ứng)        (2)
Từ (1) và (2)⇒∠BDF=∠EDC 
Lại có ∠ADB=∠ADC=90(AD⊥BC)
⇒∠BDF+∠FDA=∠EDC+∠EDA
mà ∠BDF=∠EDC
⇒∠FDA=∠EDA
⇒DH là tia phân giác của ∠FDE(đpcm)