Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Để tính tốc độ tăng trưởng tối đa của đàn cá, chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số  $$P(t)$$ P(t) và xác định giá trị cực đại của nó.

Hàm số đã cho là:

$$P(t) = \frac{c}{1 + a \cdot b^{-t}}$$ P(t)=1+a⋅b−tc​

Tốc độ tăng trưởng tối đa xảy ra khi đạo hàm của  $$P(t)$$ P(t) theo  $$t$$ t đạt giá trị lớn nhất. Đạo hàm của  $$P(t)$$ P(t) là:

$$P'(t) = \frac{d}{dt} \left(\frac{c}{1 + a \cdot b^{-t}}\right)$$ P′(t)=dtd​(1+a⋅b−tc​)

Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm phân số, ta có:

$$P'(t) = \frac{c \cdot a \cdot \ln(b) \cdot b^{-t}}{(1 + a \cdot b^{-t})^2}$$ P′(t)=(1+a⋅b−t)2c⋅a⋅ln(b)⋅b−t​

Để tìm tốc độ tăng trưởng tối đa, ta cần tìm giá trị cực đại của  $$P'(t)$$ P′(t). Điều này xảy ra khi:

$$b^{-t} = 1$$ b−t=1

Tức là khi  $$t = 0$$ t=0

Thay  $$t = 0$$ t=0 vào  $$P'(t)$$ P′(t):

$$P'(0) = \frac{c \cdot a \cdot \ln(b)}{(1 + a)^2}$$ P′(0)=(1+a)2c⋅a⋅ln(b)​

Với các giá trị  $$c = 8000$$ c=8000,  $$a = \frac{8000}{800} - 1 = 9$$ a=8008000​−1=9, và  $$b$$ b được xác định từ điều kiện  $$P(3) = 6000$$ P(3)=6000:

$$6000 = \frac{8000}{1 + 9 \cdot b^{-3}}$$ 6000=1+9⋅b−38000​

Giải phương trình trên để tìm  $$b$$ b:

$$1 + 9 \cdot b^{-3} = \frac{8000}{6000} = \frac{4}{3}$$ 1+9⋅b−3=60008000​=34​

$$9 \cdot b^{-3} = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$$ 9⋅b−3=34​−1=31​

$$b^{-3} = \frac{1}{27}$$ b−3=271​

$$b = 3$$ b=3

Thay  $$b = 3$$ b=3 vào  $$P'(0)$$ P′(0):

$$P'(0) = \frac{8000 \cdot 9 \cdot \ln(3)}{(1 + 9)^2}$$ P′(0)=(1+9)28000⋅9⋅ln(3)​

$$P'(0) = \frac{72000 \cdot \ln(3)}{100}$$ P′(0)=10072000⋅ln(3)​

$$P'(0) = 720 \cdot \ln(3)$$ P′(0)=720⋅ln(3)

Tính giá trị này:

$$P'(0) \approx 720 \cdot 1.0986 \approx 791$$