Cho đường tròn (O). Một đường thẳng d cố định, không đi qua tâm O, cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt A và B. lấy điểm M bất kỳ thuộc đường thẳng d và nằm ngoài đường tròn (O) ( MA< MB). Qua M vẽ hai tiếp tuyến MC, MD ( C, D là hai tiếp điểm ). gọi I là giao điểm của MO và CD. Chứng minh a, OCMD là tứ giác nội tiếp b, MC^2=MA.MB c, Khi M thay đổi ( M thuộc d và nằm ngoài đường tròn (O), MA<MB ) thì đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định

Giải thích các bước giải:

a) Xét `(O)` có: `MC, MD` là các tiếp tuyến

`=>  OC⊥MC; OD⊥MD`

`=> \hat{OCM}=90^0; \hat{ODM}=90^0`

Xét tứ giác `OCMD` có:

`\hat{OCM}+\hat{ODM}=90^0+90^0=180^0` 

`=> OCMD` là tứ giác nội tiếp

b) Xét `(O)` có: `\hat{CBA}` là góc nội tiếp chắn cung `AC`

`\hat{MCA}` là góc tạo bởi tiếp tuyến `MC` và dây cung `AC`

`=> \hat{CBA}=\hat{MCA}` hay `\hat{CBM}=\hat{MCA}`

Xét `ΔMAC` và `ΔMCB` có:

`\hat{BMC}`: chung

`\hat{MCA}=\hat{CBM}`

`=>` $ΔMAC\backsimΔMCB$ (g.g)

`=> \frac{MC}{MB}=\frac{MA}{MC} => MC^2=MA.MB`

c) Gọi `H` là trung điểm của `AB => OH⊥AB`

`=> H` là điểm cố định; `OH` không đổi

Gọi `K` là giao điểm của `OH` và `CD`

Xét `(O)` có `MC, MD` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại `M`

`=> MC=MD`

lại có: `OC=OD (=R)`

`=> MO` là đường trung trực của `CD`

`=> MO⊥CD` tại `I`

`ΔOCM` vuông tại `C` có đường cao `CI`

`=> OI.OM=OC^2=R^2`  (1)

Xét `ΔOIK` và `ΔOHM` có:

`\hat{OIK}=\hat{OHM}=90^0 (MO⊥CD; OH⊥AB)`

`\hat{MOK}`: chung

`=>` $ΔOIK\backsimΔOHM$ (g.g)

`=> \frac{OK}{OM}=\frac{OI}{OH} => OK=\frac{OM.OI}{OH}`  (2)

Từ (1) (2) `=> OK=\frac{R^2}{OH}` (không đổi)

`=> K` là điểm cố định

Vậy `CD` luôn đi qua điểm cố định `K` khi `M` thay đổi trên đường thẳng `d`