Cho `P=1/{bc{\sqrt{1+a^2}}+{ca\sqrt{1+b^2}}+{ab\sqrt{1+c^2}},` với `a,b,c` là số thực dương thoả mãn `1/a+1/b+1/c=1/{abc}. C/M: P<=3/{2abc}`

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 Ta có:`1/a+1/b+1/c=1/(abc)`

`<=>ab+bc+ac=1`(nhân `2` vế với `abc)`

Khi đó ta có:`a^2+1=a^2+ab+bc+ac=a(a+b)+c(a+b)=(a+b)(a+c)`

`=>bc\sqrt{1+a^2}=bc\sqrt{(a+b)(a+c)}`

Tương tự ta cũng có:`ac\sqrt{1+b^2}=ac\sqrt{(a+b)(b+c)}`

                                 `ab\sqrt{1+c^2}=ab\sqrt{(a+c)(b+c)}`

Cộng vế theo vế ta được:

`bc\sqrt{1+a^2}+ac\sqrt{1+b^2}+ab\sqrt{1+c^2}=bc\sqrt{(a+b)(a+c)}+ac\sqrt{(a+b)(b+c)}+ab\sqrt{(a+c)(b+c)}>=3\root{3}{a^2b^2c^2(a+b)(b+c)(a+c)}`(Cô-si)

`>=3\root{3}{a^2b^2c^2. 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}}=3\root{3}{a^2b^2c^2. 8abc}=3.2\root{3}{a^3b^3c^3}=6abc`

`=>bc\sqrt{1+a^2}+ac\sqrt{1+b^2}+ab\sqrt{1+c^2}>=6abc`

Xét `P=1/(bc\sqrt{1+a^2}+ac\sqrt{1+b^2}+ab\sqrt{1+c^2})`

Theo chứng minh trên ta có:

`P<=1/(6abc)`

Dấu"=" xảy ra khi `a=b=c=\sqrt{3}/3`