Giúp em câu này với các chuyên gia đáng yêu dễ thương Tìm m để phương trình có nghiệm trên đoạn (-pi/2, pi/2) $2sinx+mcosx=1-m$

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Do `x \in (-\pi/2;\pi/2) \to cosx > 0 \to cosx + 1 > 0`

Ta có:`2sinx + mcosx = 1 -  m`

`\iff mcosx + m = 1 - 2sinx`

`\iff m(cosx + 1) = 1 - 2sinx`

`\iff m = \frac{1 - 2sinx}{1 + cosx}`

`\iff m = \frac{1 - 4sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}{2cos^2 \frac{x}{2}}`

`\iff m = \frac{1}{2} . \frac{1}{cos^2 \frac{x}{2}} - \frac{2sin\frac{x}{2}}{cos \frac{x}{2}}`

`\iff m = 1/2(tan^2 \frac{x}{2} + 1) - 2tan \frac{x}{2}`

`\iff m = 1/2tan^2 \frac{x}{2} - 2tan \frac{x}{2} + 1/2`

`\iff 2m = tan^2 \frac{x}{2} - 4tan \frac{x}{2} + 1`

`\iff 2m  = (tan \frac{x}{2} - 2)^2 - 3`

Mà `x \in (-\pi/2 ; \pi/2) \to x/2 \in (-\pi/4 ; \pi/4)`

`\to -1 < tan \frac{x}{2} < 1`

`\to -3 < tan \frac{x}{2} - 2 < -1`

`\to 1 < (tan \frac{x}{2} - 2)^2 < 9`

`\to -2 < (tan \frac{x}{2} - 2)^2 - 3 < 6`

`\to -2 < 2m < 6`

`\to -1 < m < 3`

Vậy với `m \in (-1 ; 3)` thì phương trình có nghiệm thỏa yêu cầu đề bài.