Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm; AC = 8cm. Kẻ AH vuông góc BC. Lấy D thuộc HC sao cho HD=HB. a) Tính BC, AH, BH, CH b) Chứng tỏ AB=AD c) góc HAD = góc ACB d) Kẻ CE vuông góc AD. Chứng tỏ CB là tia phân giác góc ACE e) Gọi AH cắt CE tại K. Chứng tỏ KD vuông góc AC f) Tam giác AHE cân

Đáp án:

$\begin{array}{l}
a)Theo\,Pytago:\\
A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\
 \Rightarrow B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\\
 \Rightarrow BC = 10\left( {cm} \right)\\
{S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AH.BC = \frac{1}{2}.AB.AC\\
 \Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{6.8}}{{10}} = 4,8\left( {cm} \right)\\
Theo\,Pytago:\\
A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\\
 \Rightarrow B{H^2} = {6^2} - 4,{8^2}\\
 \Rightarrow BH = 3,6\left( {cm} \right)\\
 \Rightarrow CH = 10 - BH = 6,4\left( {cm} \right)\\
b)Xet:\Delta ABH;\Delta ADH:\\
 + \widehat {AHB} = \widehat {AHD} = {90^0}\\
 + HB = HD\\
 + AH\,chung\\
 \Rightarrow \Delta ABH = \Delta ADH\left( {c - g - c} \right)\\
 \Rightarrow AB = AD\\
c)Do:\Delta ABH = \Delta ADH\\
 \Rightarrow \widehat {HAD} = \widehat {HAB}\\
Do:\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {HAB} + \widehat B = {90^0}\\
\widehat {ACB} + \widehat B = {90^0}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \widehat {HAB} = \widehat {ACB}\\
 \Rightarrow \widehat {HAD} = \widehat {ACB}\\
d)Do:\widehat {ECD} + \widehat {EDC} = {90^0}\\
\widehat {EDC} = \widehat {HDA} = \widehat {HBA}\\
\widehat {DCA} + \widehat {HBA} = {90^0}\\
 \Rightarrow \widehat {ECD} = \widehat {DCA}
\end{array}$

=> CB là tia phân giác của góc ACE

e)

Tam giác KAC có CH và AE là 2 đường cao cắt nhau tại D

=> D là trực tâm 

=> KD là đường cao thứ 3

=> KD vuông góc với AC