Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ có $B,C,O$ cố định. Hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$. Vẽ đường kính $AF$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ Tìm vị trí của $A$ trên cung $BC $để a) Diện tích $ABC$ lớn nhất b) Diện tích $ADE$ lớn nhất c) Chu vi $ABC$ lớn nhất d) Chu vi $ADE$ lớn nhất Chỉ dùng kiến thức đến bài Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây, góc nội tiếp

Giải thích các bước giải:

a.Vì $M$ là trung điểm $BC\to OM\perp BC$

Gọi $BD\cap CE=H\to H$ là trực tâm $\Delta ABC\to AH\perp CB$

Gọi $AH\cap BC=F\to AF\perp BC$

$\to S_{ABC}=\dfrac12AF\cdot BC\le \dfrac12AM\cdot BC\le \dfrac12(AO+OM)\cdot BC=\dfrac12(R+OM)\cdot BC$

Dấu = xảy ra khi $F\equiv M\to A$ nằm giữa cung $BC$

b.Ta có $\widehat{BDC}=\widehat{BEC}=90^o$ 

$\to BEDC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

$\to \widehat{AED}=\widehat{ACB},\widehat{ADE}=\widehat{ABC}$

$\to\Delta ADE\sim\Delta ABC(g.g)$

$\to \dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=(\dfrac{AD}{AB})^2=\cos^2\hat A=\cos^2(\dfrac12\widehat{BOC})$ không đổi

$\to S_{ADE}=\cos^2(\dfrac12\widehat{BOC})\cdot S_{ABC}$

$\to S_{ADE}\le \cos^2(\dfrac12\widehat{BOC})\cdot \dfrac12(R+OM)\cdot BC$

Dấu = xảy ra khi $A$ nằm chính giữa cung $BC$

c.Ta có $B, O, C$ không đổi

$\to \hat A=\dfrac12\widehat{BOC}$ không đổi

Để $P_{ABC}$ lớn nhất $\to AB+AC+BC$ lớn nhất

$\to AB+AC$ lớn nhất

Xét $\Delta ABC$ có:

$BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot \cos\widehat{BAC}$

$\to BC^2=(AB+AC)^2-2AB\cdot AC-2AB\cdot AC\cdot \cos\widehat{BAC}$

$\to BC^2=(AB+AC)^2-2AB\cdot AC(1+ \cos\widehat{BAC})$

$\to BC^2\ge (AB+AC)^2-\dfrac{(AB+AC)^2}{2}(1+ \cos\widehat{BAC})$

$\to BC^2\ge (AB+AC)^2(1-\dfrac{1+ \cos\widehat{BAC}}{2})$

$\to BC^2\ge (AB+AC)^2\cdot \dfrac{1- \cos\widehat{BAC}}{2}$

$\to (AB+AC)^2\le \dfrac{2BC^2}{1-\cos\widehat{BAC}}$

$\to AB+AC\le \sqrt{\dfrac{2BC^2}{1-\cos\widehat{BAC}}}$

$\to AB+AC+BC\le BC+ \sqrt{\dfrac{2BC^2}{1-\cos\widehat{BAC}}}$

$\to P_{ABC}\le BC+ \sqrt{\dfrac{2BC^2}{1-\cos\widehat{BAC}}}$

Dấu = xảy ra khi $AB=AC\to A$ nằm chính giữa cung $BC$

d.Từ câu b

$\to \dfrac{P_{ADE}}{P_{ABC}}=\dfrac{AE}{AC}=\cos\widehat{BAC}$

$\to P_{ADE}=\cos\widehat{BAC}\cdot P_{ABC}$

$\to P_{ADE}\le \cos\widehat{BAC}\cdot (BC+ \sqrt{\dfrac{2BC^2}{1-\cos\widehat{BAC}}})$

Dấu = xảy ra khi $ A$ nằm chính giữa cung $BC$