Cho hình nón có chiều cao bằng a. Biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cách tâm của đáy hình nón một khoảng bằng a/3 , thiết diện thu được là một tam giác vuông. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng:

Đáp án:

$V_{\text{nón}}=\dfrac{5\pi a^2}{12}$

Giải thích các bước giải:

Gọi đỉnh của hình nón là $S$, tâm ở đáy của hình nón là $O\Rightarrow SO\bot$(đáy), $SO=a$

Gọi thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón là $\Delta SAB\bot S$ (giả thiết)

Gọi $I$ là trung điểm của $\Delta OAB$ cân đỉnh $O$ (OA=OB=R)

$\Rightarrow OI\bot AB$

$AB\bot SO$

$OI,SO\subset(SOI)\Rightarrow AB\bot(SOI)$

Trong $\Delta SOI$ dựng $OH\bot SI$

và $\Rightarrow OH\bot AB$

$SI,AB\subset(SAB)\Rightarrow OH\bot(SAB)$

$\Rightarrow d(O,(SAB))=OH=\dfrac a3$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta SOI\bot O$ có:

$\dfrac{1}{OI^2}=\dfrac{1}{OH^2}-\dfrac{1}{SO^2}=\dfrac9{a^2}-\dfrac1{a^2}=\dfrac8{a^2}$

$\Rightarrow OI=\dfrac a{2\sqrt2}$

$\Delta SOI\bot O:SI=\sqrt{SO^2+OI^2}=\sqrt{a^2+\dfrac{a^2}{8}}=\dfrac{3a}{2\sqrt2}$

$\Delta SAB\bot$ cân đỉnh $S$ có $I$ là trung điểm của cạnh huyền $AB$ nên $AI=SI$

$\Delta OAI\bot I$ có $OA=\sqrt{OI^2+AI^2}=\sqrt{\dfrac{a^2}{8}+\dfrac{9a^2}8}=\dfrac{a\sqrt{5}}2$

$\Rightarrow V_{\text{nón}}=\dfrac13.\pi.OA^2.SO=\dfrac13.\pi.\dfrac{5a^2}4.a=\dfrac{5\pi a^2}{12}$ đơn vị thể tích.