Tóm tắt

$m$: khối lượng cục nước đá (kg) $\implies$ khối lượng nước đổ vào cũng là $m$ (kg).

$t_0 = -5^\circ C$: nhiệt độ ban đầu của nước đá.

$t_n$: nhiệt độ ban đầu của nước đổ vào ($^\circ C$).

$C_n = 4200 \, J/(kg.K)$: nhiệt dung riêng của nước.

$C_đ = 1800 \, J/(kg.K)$: nhiệt dung riêng của nước đá.

$D_n = 1000 \, kg/m^3$: khối lượng riêng của nước.

$D_đ = 900 \, kg/m^3$: khối lượng riêng của nước đá.

$\lambda = 320000 \, J/kg$: nhiệt nóng chảy riêng của nước đá.

$S$: diện tích đáy bình.

$m_{tan}$: khối lượng nước đá bị tan chảy (kg).

Thể tích ban đầu trong bình (nước + đá):

$V_1 = V_n + V_đ = \frac{m}{D_n} + \frac{m}{D_đ}$

Chiều cao mực nước ban đầu:

$h_1 = \frac{V_1}{S}$

$V_2 = V_{n}' + V_{đ}' = \frac{m + m_{tan}}{D_n} + \frac{m - m_{tan}}{D_đ}$

Chiều cao mực nước cuối cùng:

$h_2 = \frac{V_2}{S}$

Theo đề bài, mực nước giảm 2%:

$h_2 = (1 - 0.02) h_1 = 0.98 h_1$

$\implies V_2 = 0.98 V_1$

$\frac{m + m_{tan}}{D_n} + \frac{m - m_{tan}}{D_đ} = 0.98 (\frac{m}{D_n} + \frac{m}{D_đ})$

$(\frac{m}{D_n} + \frac{m}{D_đ}) + m_{tan}(\frac{1}{D_n} - \frac{1}{D_đ}) = 0.98 (\frac{m}{D_n} + \frac{m}{D_đ})$

$m_{tan}(\frac{1}{D_n} - \frac{1}{D_đ}) = -0.02 (\frac{m}{D_n} + \frac{m}{D_đ})$

$m_{tan} \frac{D_đ - D_n}{D_n D_đ} = -0.02 m \frac{D_đ + D_n}{D_n D_đ}$

$m_{tan} = -0.02 m \frac{D_đ + D_n}{D_đ - D_n} = -0.02 m \frac{900 + 1000}{900 - 1000} = -0.02 m \frac{1900}{-100} = 0.38 m$

Vì $0 < m_{tan} < m$, nước đá tan một phần $\implies$ nhiệt độ cân bằng là $t_{cb} = 0^\circ C$.

Nhiệt lượng nước tỏa ra:

$Q_{tỏa} = m C_n (t_n - t_{cb}) = m C_n (t_n - 0) = m C_n t_n$

Nhiệt lượng đá thu vào:

$Q_{thu} = m C_đ (t_{cb} - t_0) + m_{tan} \lambda = m C_đ (0 - (-5)) + (0.38 m) \lambda = 5 m C_đ + 0.38 m \lambda$

$m C_n t_n = 5 m C_đ + 0.38 m \lambda$

$C_n t_n = 5 C_đ + 0.38 \lambda$

$t_n = \frac{5 C_đ + 0.38 \lambda}{C_n}$

$t_n = \frac{5 \times 1800 + 0.38 \times 320000}{4200} = \frac{9000 + 121600}{4200} = \frac{130600}{4200}$

$t_n \approx 31.1^\circ C$

Vậy, nhiệt độ ban đầu của nước đổ vào là khoảng $31.1^\circ C$.