Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB,AC tại E,F. Các đoạn thẳng BF và CE cắt nhau tại tiếp tiếp tuyến AH, AH cắt BC tại K

a) C/m: AEHF là tứ giác nội tiếp

b) Gọi D là giao điểm của AH và (O). C/m: BD^2 = BK.BC và BDH = BFD

c) Trong trường hợp BAC = 60 độ, BC = 6cm. Tính EF và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.

a) 

 Vì E, F nằm trên đường tròn đường kính BC nên:

     $\widehat{BEC} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\implies CE \perp AB$

       $\widehat{BFC} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\implies BF \perp AC$

 Xét tứ giác AEHF có:

     $\widehat{AEH} = 90^\circ$ (do $CE \perp AB$)

     $\widehat{AFH} = 90^\circ$ (do $BF \perp AC$)

 $\implies \widehat{AEH} + \widehat{AFH} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

Vậy tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH (tổng hai góc đối bằng 180°).

b) 

     Trong $\triangle ABC$, CE và BF là đường cao cắt nhau tại H $\implies$ H là trực tâm $\implies AH \perp BC$ tại K.

     Xét đường tròn (O) có $\widehat{BDC} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

     Xét $\triangle BDC$ vuông tại D, có DK là đường cao (vì $AH \perp BC$ tại K và $D \in AH$).

    Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BDC: $BD^2 = BK \cdot BC$ (hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu).

     Xét đường tròn (O): $\widehat{BFD} = \widehat{BCD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD).

     Xét $\triangle BDK$ vuông tại K: $\widehat{BDK} = 90^\circ - \widehat{DBK} = 90^\circ - \widehat{ABC}$.

     Xét $\triangle BEC$ vuông tại E: $\widehat{BCE} = 90^\circ - \widehat{EBC} = 90^\circ - \widehat{ABC}$.

     $\implies \widehat{BDK} = \widehat{BCE}$ (hay $\widehat{BDK} = \widehat{BCD}$).

     Vì $\widehat{BFD} = \widehat{BCD}$ và $\widehat{BDK} = \widehat{BCD}$, suy ra $\widehat{BDK} = \widehat{BFD}$.

     Do H nằm trên đoạn AK (hay DK), nên $\widehat{BDH} = \widehat{BDK}$.

     Vậy $\widehat{BDH} = \widehat{BFD}$.

c) 

Tính EF:

     Xét $\triangle AEF$ và $\triangle ABC$:

           $\widehat{BAC}$ chung.

         Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn (O) $\implies \widehat{AEF} = \widehat{ABC}$ (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

     $\implies \triangle AEF \sim \triangle ABC$ (g.g).

     Tỉ số đồng dạng: $\frac{EF}{BC} = \frac{AE}{AB}$.

     Xét $\triangle AEB$ vuông tại E: $AE = AB \cdot \cos(\widehat{BAE}) = AB \cdot \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} AB$.

     $\implies \frac{AE}{AB} = \frac{1}{2}$.

       $\implies \frac{EF}{BC} = \frac{1}{2} \implies EF = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ cm.

bán kính đường tròn ngoại tiếp $\triangle AEF$ ):

       Áp dụng định lý sin cho $\triangle AEF$:

        $\frac{EF}{\sin(\widehat{EAF})} = 2 R_{AEF}$

     $\implies \frac{3}{\sin(60^\circ)} = 2 R_{AEF}$

     $\implies \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2 R_{AEF}$

     $\implies \frac{6}{\sqrt{3}} = 2 R_{AEF}$

     $\implies R_{AEF} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ cm.