Đáp án:

Ta cùng giải từng phần của bài toán hình học này nhé!

Đề bài tóm tắt:

• ABCD là hình vuông, diện tích SABCD=48 cm2S_{ABCD} = 48 \text{ cm}^2SABCD​=48 cm2

• Các điểm:

  • E∈ABE \in ABE∈AB sao cho ABEB=3⇒EB=13AB\dfrac{AB}{EB} = 3 \Rightarrow EB = \dfrac{1}{3}ABEBAB​=3⇒EB=31​AB

  • F∈ADF \in ADF∈AD sao cho AFFD=1⇒AF=FD=12AD\dfrac{AF}{FD} = 1 \Rightarrow AF = FD = \dfrac{1}{2}ADFDAF​=1⇒AF=FD=21​AD

  • G∈DCG \in DCG∈DC sao cho CGGD=1⇒CG=GD=12DC\dfrac{CG}{GD} = 1 \Rightarrow CG = GD = \dfrac{1}{2}DCGDCG​=1⇒CG=GD=21​DC

Bước 1: Xác định cạnh hình vuông

Gọi độ dài cạnh hình vuông là aaa.
Vì diện tích hình vuông là a2=48⇒a=48=43 cma^2 = 48 \Rightarrow a = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ cm}a2=48⇒a=48​=43​ cm

a) Tính diện tích tam giác CBE

Giả sử đặt hệ trục tọa độ:

• A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a)

=>

• E∈ABE \in ABE∈AB, EB=13AB=13a⇒AE=a−13a=23a⇒E(23a,0)EB = \dfrac{1}{3}AB = \dfrac{1}{3}a \Rightarrow AE = a - \dfrac{1}{3}a = \dfrac{2}{3}a \Rightarrow E(\dfrac{2}{3}a, 0)EB=31​AB=31​a⇒AE=a−31​a=32​a⇒E(32​a,0)

Toạ độ các điểm:

• B(a,0)B(a, 0)B(a,0)

• C(a,a)C(a, a)C(a,a)

• E(23a,0)E(\dfrac{2}{3}a, 0)E(32​a,0)

Dùng công thức diện tích tam giác theo toạ độ:

S△CBE=12∣xB(yC−yE)+xC(yE−yB)+xE(yB−yC)∣S_{\triangle CBE} = \dfrac{1}{2} \left| x_B(y_C - y_E) + x_C(y_E - y_B) + x_E(y_B - y_C) \right|S△CBE​=21​∣xB​(yC​−yE​)+xC​(yE​−yB​)+xE​(yB​−yC​)∣

Thay toạ độ vào:

S=12∣a(a−0)+a(0−0)+23a(0−a)∣=12∣a2−23a2∣=12⋅13a2=16a2S = \dfrac{1}{2} \left| a(a - 0) + a(0 - 0) + \dfrac{2}{3}a(0 - a) \right| = \dfrac{1}{2} \left| a^2 - \dfrac{2}{3}a^2 \right| = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3}a^2 = \dfrac{1}{6}a^2S=21​​a(a−0)+a(0−0)+32​a(0−a)​=21​​a2−32​a2​=21​⋅31​a2=61​a2

Thay a2=48⇒S=16⋅48=8 cm2a^2 = 48 \Rightarrow S = \dfrac{1}{6} \cdot 48 = 8 \text{ cm}^2a2=48⇒S=61​⋅48=8 cm2

Đáp án a: Diện tích tam giác CBE là 8 cm²

b) Tính diện tích tứ giác CEFG

Tứ giác CEFG gồm 4 điểm:

• C(a,a)C(a, a)C(a,a)

• E(23a,0)E(\dfrac{2}{3}a, 0)E(32​a,0)

• F(0,12a)F(0, \dfrac{1}{2}a)F(0,21​a)

• G(12a,a)G(\dfrac{1}{2}a, a)G(21​a,a)

Ta tính diện tích tứ giác bằng công thức tọa độ:

S=12∣x1y2+x2y3+x3y4+x4y1−(y1x2+y2x3+y3x4+y4x1)∣S = \dfrac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right|S=21​∣x1​y2​+x2​y3​+x3​y4​+x4​y1​−(y1​x2​+y2​x3​+y3​x4​+y4​x1​)∣

Cho các điểm theo thứ tự: C(x1,y1),E(x2,y2),F(x3,y3),G(x4,y4)C(x_1,y_1), E(x_2,y_2), F(x_3,y_3), G(x_4,y_4)C(x1​,y1​),E(x2​,y2​),F(x3​,y3​),G(x4​,y4​)

Tọa độ:

• C(a,a)C(a,a)C(a,a)

• E(23a,0)E(\dfrac{2}{3}a, 0)E(32​a,0)

• F(0,12a)F(0, \dfrac{1}{2}a)F(0,21​a)

• G(12a,a)G(\dfrac{1}{2}a, a)G(21​a,a)

Thay vào công thức:

S=12∣a⋅0+23a⋅12a+0⋅a+12a⋅a−(a⋅23a+0⋅0+12a⋅12a+a⋅a)∣S = \dfrac{1}{2} \left| a \cdot 0 + \dfrac{2}{3}a \cdot \dfrac{1}{2}a + 0 \cdot a + \dfrac{1}{2}a \cdot a - (a \cdot \dfrac{2}{3}a + 0 \cdot 0 + \dfrac{1}{2}a \cdot \dfrac{1}{2}a + a \cdot a) \right|S=21​​a⋅0+32​a⋅21​a+0⋅a+21​a⋅a−(a⋅32​a+0⋅0+21​a⋅21​a+a⋅a)​

Tính:

=12∣13a2+12a2−(23a2+14a2+a2)∣=12∣56a2−2512a2∣=12⋅∣−1512a2∣=1524a2=58a2= \dfrac{1}{2} \left| \dfrac{1}{3}a^2 + \dfrac{1}{2}a^2 - \left( \dfrac{2}{3}a^2 + \dfrac{1}{4}a^2 + a^2 \right) \right| = \dfrac{1}{2} \left| \dfrac{5}{6}a^2 - \dfrac{25}{12}a^2 \right| = \dfrac{1}{2} \cdot \left| -\dfrac{15}{12}a^2 \right| = \dfrac{15}{24}a^2 = \dfrac{5}{8}a^2=21​​31​a2+21​a2−(32​a2+41​a2+a2)​=21​​65​a2−1225​a2​=21​⋅​−1215​a2​=2415​a2=85​a2

Thay a2=48⇒S=58⋅48=30 cm2a^2 = 48 \Rightarrow S = \dfrac{5}{8} \cdot 48 = 30 \text{ cm}^2a2=48⇒S=85​⋅48=30 cm2

Đáp án b: Diện tích tứ giác CEFG là 30 cm²

Tóm lại:

• a) Diện tích tam giác CBE là 8 cm²

• b) Diện tích tứ giác CEFG là 30 cm