Đáp án:

 Chứng minh H, M, K thẳng hàng và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHEF theo R:

Chứng minh H, M, K thẳng hàng:

• 1. Gọi I là trung điểm của AH.
  2. Ta có: góc AFH = góc AEH = 90° (do BE và CF là đường cao)
  3. Suy ra tứ giác AHEF nội tiếp đường tròn đường kính AH.
  4. Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHEF là trung điểm của AH, tức là điểm I.
  5. Gọi N là giao điểm của AH và BC.
  6. Ta có: góc BAC = 60° (giả thiết)
  7. Suy ra góc BOC = 2 * góc BAC = 120° (góc ở tâm gấp đôi góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
  8. Suy ra góc BHC = 180° - góc BAC = 120° (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp BHOC bằng 180°)
  9. Suy ra góc BHC = góc BOC
  10. Suy ra tứ giác BHOC nội tiếp.
  11. Suy ra góc HBO = góc HCO = 30° (góc nội tiếp cùng chắn cung OC)
  12. Suy ra góc HBC = góc HCB = 30°
  13. Suy ra tam giác HBC cân tại H.
  14. Suy ra HM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.
  15. Suy ra HM ⊥ BC.
  16. Ta có: góc AKC = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
  17. Suy ra CK ⊥ AC.
  18. Suy ra CK // BE
  19. Suy ra góc HCK = góc HBE
  20. Suy ra góc HCK = góc HBM
  21. Suy ra tứ giác BHCK nội tiếp.
  22. Suy ra góc BHK = góc BCK
  23. Suy ra góc BHK = góc BCM
  24. Suy ra góc BHK = góc BHM
  25. Suy ra H, M, K thẳng hàng.

      Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF theo R:

      1. Gọi R1 là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF.
      2. Ta có: R1 = AH/2 (vì AH là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF)
      3. Ta có: AH = 2 * OM (với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
      4. Ta có: OM = R * cos(60°) = R/2
      5. Suy ra: AH = 2 * R/2 = R
      6. Suy ra: R1 = R/2

Vậy, H, M, K thẳng hàng và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF là R/2.