$S = \left( 1 - \frac{1}{2^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{3^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{4^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{5^2} \right) \left( 1 - \frac{1}{6^2} \right) \cdots \left( 1 - \frac{1}{99^2} \right)$

$= \left( 1 - \frac{1}{4} \right) \left( 1 - \frac{1}{9} \right) \left( 1 - \frac{1}{16} \right) \cdots \left( 1 - \frac{1}{9801} \right)$

$= \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{15}{16} \cdot \cdots \cdot \frac{9800}{9801}$

$= \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4} \cdot \cdots \cdot \frac{98 \cdot 100}{99 \cdot 99}$

$= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 98}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots 99} \cdot \frac{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdots 100}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots 99}$

$= \frac{1}{99} \cdot \frac{100}{2}$

$= \frac{50}{99}$

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