Đáp án + Giải thích các bước giải:

Câu 3:

$1\bigg)$ 

Ta có: Đường thẳng $(d_1): y = (k - 1)x + k$ song song với đường thẳng $(d_2): y = 3x - 12$

$\Leftrightarrow \begin {cases} k - 1 = 3 \\ k \ne -12 \end {cases}$
$\Leftrightarrow \begin {cases} k = 4 \\ k \ne -12 (\text{đúng}) \end {cases}$
$\Leftrightarrow k = 4$

Vậy với $k = 4$ thì đường thẳng $(d_1): y = (k - 1)x + k$ song song với đường thẳng $(d_2): y = 3x - 12$

Thay $k = 4$ vào $(d_1): y = (k - 1)x + k$, ta có:
$(d_1): y = (4 - 1)x + 4 = 3x + 4$ 

Bảng giá trị:

$\begin {array}{|c|c|c|}\hline\text{$x$}&\text{$0$}&\text{$-1$}\\\hline \text{$(d_1): y = 3x + 4$}&\text{$4$}&\text{$1$}\\\hline\end {array}$

$\begin {array}{|c|c|c|}\hline\text{$x$}&\text{$4$}&\text{$5$}\\\hline \text{$(d_1): y = 3x - 12$}&\text{$0$}&\text{$3$}\\\hline\end {array}$

$\Rightarrow$ Đồ thị: hình $1$

$2)$

a) Bảng giá trị: 

$\begin {array}{|c|c|c|}\hline\text{$x$}&\text{$-2$}&\text{$-1$}&\text{$0$}&\text{$1$}&\text{$2$}\\\hline \text{$(P): y = x^2$}&\text{$4$}&\text{$1$}&\text{$0$}&\text{$1$}&\text{$4$}\\\hline\end {array}$

$\Rightarrow$ Đồ thị của $(P)$: hình $2$

Ta có: Đường thẳng $(d): y = 2x - m$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $1$

$\Rightarrow y = 1$ khi $x = 0$

$\Leftrightarrow -m = 1$

$\Leftrightarrow m = -1$
Vậy với $m = -1$ thì đường thẳng $(d): y = 2x - m$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $1$
b) Phương trình hoành độ giao điểm của $(P): y = x^2$ và $(d): y = 2x - m$ là:
$x^2 = 2x - m$

$\Leftrightarrow x^2 - 2x + m = 0(a = 1; b = -2; c = m)$

$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4m$

$= 4 - 4m$

$(P)$ cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt $(x_1; y_1)$ và $(x_2; y_2)$

$\Rightarrow \Delta = 4 - 4m > 0$

$\Leftrightarrow m < 1$

Áp dụng hệ thức Viet, ta có:
$\begin {cases}x_1+  x_2 = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{2}{1} = 2 \\ x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{m}{1} = m \end {cases}$

$Q = x_1x_2(y_1 + y_2 - 2)$

$\Leftrightarrow Q = m(x_1^2 + x_2^2 - 2)$

$= m[(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 - 2]$

$= m(2^2 - 2m - 2)$

$= m(2 - 2m)$

$= 2m - 2m^2$

$= -2(m^2 - m)$

$= -2\bigg[\bigg(m - \dfrac{1}{2}\bigg)^2 - \dfrac{1}{4}\bigg]$

$= -2\bigg(m - \dfrac{1}{2}\bigg)^2 + \dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{2}$ với mọi $m$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow m - \dfrac{1}{2} = 0$

$\Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}(tm)$

$\Rightarrow Q$ đạt giá trị lớn nhất là $\dfrac{1}{2}$ tại $m = \dfrac{1}{2}$

Vậy với $m = \dfrac{1}{2}$ thì $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $(x_1; y_1)$ và $(x_2; y_2)$ sao cho $Q = x_1x_2(y_1 + y_2 - 2)$ đạt giá trị lớn nhất là $\dfrac{1}{2}$