Đáp án:

`1.`

`t_1 = 2/3 (h); t_2=  1(h)`

`d = 5\sqrt37 (km)`

`2.`

`d_min =4\sqrt5 (km)`

`3.`

Chất điểm `B` cần chuyển động theo hướng hợp với phương Ox một góc `\alpha \approx 70^o`

Giải thích các bước giải:

`x_{0A} = 20km; x_{0B} = 60km; v_1 = 30\text{km/h};v_2=60\text{km/h}`
`1.`
Chọn gốc tọa độ tại `O`
Thời gian để chất điểm `A` đi đến `O`:
`t_1 = S_1/v_1 = 20/30 = 2/3 (h)`
Thời gian để chất điểm `b` đi đến `O`:
`t_2 = S_2/v_2 = 60/60 = 1(h)`
Phương trình chuyển động của chất điểm `A` theo chiều chuyển động của chất điểm này:
`x_A = x_{0A} + v_1t = 20 - 30t (km)`
(Ở đây `v_1` âm vì xe đang chuyển động về gốc tọa độ `O`)
Phương trình chuyển động của chất điểm `B` theo chiều chuyển động của chất điểm này:
`x_B = x_{0B} + v_2t = 60 - 60t (km)`
Đổi `30` phút `=0,5h`
Tọa độ của hai chất điểm `A,B` sau khi chuyển động được `30` phút lần lượt là:
`x_A = 20 - 30.0,5 = 5(km)`
`x_B = 60 - 60.0,5 = 30 (km)`
Khoảng cách giữa hai chất điểm sau khi chuyển động được `30` phút:
`d = \sqrt{x_A^2 + X_B^2} = \sqrt{5^2 + 30^2} = 5\sqrt37(km)` (Pytago)
`2.`
Khoảng cách giữa hai chất điểm trong quá trình chuyển động:
`d^2 = x_A^2 + x_B^2` (Pytago)
`<=> d = \sqrt{x_A^2 + x_B^2}`
`= \sqrt{(20-30t)^2 + (60-60t)^2}`
`= \sqrt{900t^2-1200t+400 + 3600t^2 -7200t +3600}`
`= \sqrt{4500t^2 -8400t + 4000}`
`= \sqrt{4500t^2 -8400t + 3920 + 80}`
`= \sqrt{(30\sqrt5t)^2 - 2.30\sqrt5. 28\sqrt5+ (28\sqrt5)^2 + 80}`
`= \sqrt{(30\sqrt5t-28\sqrt5)^2 + 80}>= \sqrt80`
Dấu "=" xảy ra khi `30\sqrt5t-28\sqrt5=0<=>t=14/15(h)`
Vậy khoảng cách nhỏ nhất giữa hai chất điểm trong quá trình chuyển động là:
`d_min = \sqrt80 = 4\sqrt5 (km)`

`3.`
Như đã tính được ở câu `1`, sau 30 phút thì `x_A = 5(km)` theo phương Ox
Còn `x_B = 0(km)` theo phương Ox do chất điểm `B` chuyển động theo phương Oy trước khi chuyển hướng
Phương trình chuyển động của 2 chất điểm theo phương Ox lúc này:
`x_A'=x_A - v_1t = 5-30t (km)`
`x_B' = x_B - v_{2x}t = 0 - v_2cos\alphat = -60cos\alphat(km)`
Khi hai chất điểm gặp nhau thì `x_A' = x_B'`
`<=> 5-30t = -60cos\alphat`
`<=> -60cos\alphat + 30t = 5`
`<=> t. (-60cos\alpha + 30) = 5 \ (1)`
Theo phương Oy, `y_B = 60 - 60.0,5 = 30 (km)` vì chất điểm `B` chuyển động theo phương Oy được `30` phút
Phương trình chuyển động của chất điểm `B` theo phương Oy lúc này:
`y_B' = y_B - v_{2y}t = 30 - v_2sin\alphat = 30 - 60sin\alphat (km)`
Khi đến trục Ox để gặp chất điểm `A` thì `y_B' = 0`
`=> 30 - 60sin\alphat = 0`
`<=> 60sin\alphat = 30`
`<=> sin\alphat = 30/60 = 1/2 \ (2)`
Lấy `(1)`/`(2)`, ta được:
`{t.(-60cos\alpha+30)}/{sin\alphat} = 5/{1/2}`
`<=> {-60cos\alpha + 30}/{sin\alpha} = 10`
`<=> \alpha \approx 70^o`

Vậy chất điểm `B` cần chuyển động theo hướng hợp với phương Ox một góc `\alpha \approx 70^o`