Bài 5. (0,5 điểm) a) Cho phân số A = $\frac{2n-3}{n+7}$ Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ hơn 200 để 4 chưa tối giản. b) Tìm số tự nhiên n biết: $\frac{1}{1}$+ $\frac{1}{1+2}$ + $\frac{1}{1+2+3}$ + $\frac{1}{1+2+3+4}$ +...+ $\frac{1}{1+2+3+4+...+n}$  = $\frac{200}{101}$ 

a) Để A chưa tối giản thì `2n-3 vdots n+7`

Ta có:

`{(2n-3 vdots n+7),(n+7 vdots n+7):}`

`=> {(2n - 3 vdots n+7),(2(n+7) vdots n+7):}`

`=> {(2n-3 vdots n+7),(2n + 14 vdots n+7):}`

`=> (2n - 3) - (2n + 14) vdots n+7`

`=> 2n - 3 - 2n - 14 vdots n+7`

`=> -17 vdots n + 7`

`=> 17 vdots n + 7`

`=> n + 7 in Ư(17) = {1;17; - 1; -17}`

`=> n in {-6 ; 10; -8; -24}`

Mà `n in NN; n < 200 => n = 10`

Vậy, `n = 10` thì A chưa tối giản

b)

`1/1 + 1/(1+2) + 1/(1+2+3) + 1/(1+2+3+4) + ... + 1/(1+2+3+4+...+n) = 200/101`

`<=> 1/1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + ... + 1/(n(n+1)) = 200/101`

`<=> 2/2 + 2/6 + 2/12 + 2/20 + ... + 2/(n (n+1)) = 200/101`

`<=> 2 (1/1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + 1/4 - 1/5 + ... + 1/n - 1/(n+1)) = 200/101`

`<=> 1/1 - 1/(n+1) = 100/101`

`<=> 1/(n+1) = 1 - 100/101`

`<=> 1/(n+1) = 1/101`

`=> n + 1 = 101`

`=> n = 101 - 1`

`=> n = 100`