Câu III (3 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Ozy, cho đường thẳng d : $3x+4y-3= 0$ và đường tròn (C) : $x^2 + y2 -x – 7y= 0$ 1) Tìm tọa độ các giao điểm của d và (C). 2) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm đó.

Đáp án:

$a) A(1,0),B(-3,3)$ 

$b) d_1: \dfrac{1}{2}x-\dfrac{7}{2}y-\dfrac{1}{2}=0, d_2:\dfrac{-7}{2}x-\dfrac{1}{2}y-9=0$

Giải thích các bước giải:

$\bullet$ 1)

Xét hệ sau:

$\begin{cases} 3x+4y-3=0\\x^2+y^2-x-7y=0\ \end{cases}$

`<=>` $\begin{cases} x=\dfrac{3-4y}{3}\\\bigg(\dfrac{3-4y}{3}\bigg)^2+y^2-\dfrac{3-4y}{3}-7y=0\ \end{cases}$

`<=>` $\begin{cases} x=\dfrac{3-4y}{3}\\\dfrac{9-24y+16y^2}{9}+y^2-\dfrac{3-4y}{3}-7y=0\ \end{cases}$

`<=>` $\begin{cases} x=\dfrac{3-4y}{3}\\\dfrac{9-24y+16y^2}{9}+\dfrac{9y^2}{9}-\dfrac{9-12y}{9}-\dfrac{63y}{9}=0\ \end{cases}$

`<=>` $\begin{cases} x=\dfrac{3-4y}{3}\\\dfrac{9-24y+16y^2+9y^2-9+12y-63y}{9}=0\ \end{cases}$

`<=>` $\begin{cases} x=\dfrac{3-4y}{3}\\25y^2-75y=0\ \end{cases}$

`<=>` $\begin{cases} x=\dfrac{3-4y}{3}\\\left[\begin{matrix} y=3\\ y=0\end{matrix}\right.\ \end{cases}$

Với $y=3$ thì $x=-3$

Với $y=0$ thì $x=1$

Vậy tọa độ giao điểm của $d$ và $(C)$ là $A(1,0)$ và $B(-3,3)$

$\bullet$ b)

Đường tròn $(C): x^2+y^2-x-7y=0$ có tâm $I(a,b)$ và bán kính $R$

Có $-2a=-1$ $\rightarrow$ $a=\dfrac{1}{2}$

có $-2b=-7$ $\rightarrow$ $B=\dfrac{7}{2}$

Vậy tâm $I\bigg(\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}\bigg)$

Bán kính $R=\sqrt{\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^2+\bigg(\dfrac{7}{2}\bigg)^2+0}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$

Gọi $d_1$ là tiếp tuyến của $(C)$ tại $A(1,0)$

$d_1$ $\begin{cases} \overrightarrow{n_1}= \overrightarrow{IA}=\bigg(\dfrac{1}{2};\dfrac{-7}{2}\bigg)\\\text{qua} A(1,0)\ \end{cases}$

Vậy $d_1: \dfrac{1}{2}(x-1)-\dfrac{7}{2}(y-0)=0$

`<=>` $d_1:\dfrac{1}{2}x-\dfrac{7}{2}y-\dfrac{1}{2}=0$

$d_2$ $\begin{cases} \overrightarrow{n_2}= \overrightarrow{IB}=\bigg(\dfrac{-7}{2};\dfrac{-1}{2}\bigg)\\\text{qua} B(-3,3)\ \end{cases}$

Vậy $d_2: \dfrac{-7}{2}(x+3)+\dfrac{-1}{2}(y-3)=0$

`<=>` $d_2:\dfrac{-7}{2}x-\dfrac{1}{2}y-9=0$