Cho tam giác vuông ABC (Â = 90), AB = 28 cm, AC = 21 cm; đường phân giác góc A cắt BC tại D, đường thẳng qua D và song song với AC, cắt AB tại E. a) Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC và DE. b) Tính diện tích tam giác ACD,

Đáp án:

a) $BD=20cm\,,\,DC=15cm\,,\,DE=12cm$

b) ${{S}_{\Delta ACD}}=126c{{m}^{2}}$

Giải thích các bước giải:

a)

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:

     $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$

     $B{{C}^{2}}={{28}^{2}}+{{21}^{2}}$

     $B{{C}^{2}}=1225$

     $BC=35cm$

Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$

Nên $\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{BD+DC}{AB+AC}=\dfrac{BC}{28+21}=\dfrac{35}{49}=\dfrac{5}{7}$

Suy ra: $BD=\dfrac{5}{7}AB=\dfrac{5}{7}\cdot 28=20cm$

             $DC=\dfrac{5}{7}AC=\dfrac{5}{7}\cdot 21=15cm$

Xét $\Delta ABC$ có $DE//AC\left( gt \right)$

Nên $\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{DE}{AC}$ (Hệ quả của định lý Ta-lét)

$\Rightarrow \dfrac{20}{35}=\dfrac{DE}{21}$

$\Rightarrow DE=\dfrac{20.21}{25}=12cm$

Vậy $BD=20cm\,,\,DC=15cm\,,\,DE=12cm$

b)

Ta có $DE//AC\left( gt \right)$ và $AB\bot AC\left( gt \right)$

Nên $DE\bot AB$

Ta có: ${{S}_{\Delta ACD}}={{S}_{\Delta ABC}}-{{S}_{\Delta ABD}}$

$\Rightarrow {{S}_{\Delta ACD}}=\dfrac{1}{2}AB\cdot AC-\dfrac{1}{2}DE\cdot AB$

$\Rightarrow {{S}_{\Delta ACD}}=\dfrac{1}{2}\cdot 28\cdot 21-\dfrac{1}{2}\cdot 12\cdot 28$

$\Rightarrow {{S}_{\Delta ACD}}=294-168$

$\Rightarrow {{S}_{\Delta ACD}}=126c{{m}^{2}}$