Bài 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. 1) Chứng minh: a. $AH=DE$; $AH^{2}=BC.CH$ b. $\triangle ADE và \triangle ACB$ đồng dạng 2) Tìm điều kiện của tam giác ABC để $\frac{S_{ADE}}{S_{DECB}}$ =$\frac{1}{3}$ (Với $S_{ADE}$ là diện tích của tam giác ADE, $S_{DECB}$ là diện tích của tứ giác DECB)

Giải thích các bước giải:

1a. Ta có: $HD\perp AD, HE\perp AC, AB\perp AC\to ADHE$ là hình chữ nhật

$\to AH=DE$

Xét $\Delta AHB,\Delta AHC$ có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}(=90^o)$

$\widehat{HAB}=90^o-\hat B=\hat C$

$\to\Delta AHB\sim\Delta CHA(g.g)$

$\to\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HA}$

$\to AH^2=HB\cdot HC$

b.Xét $\Delta ADE,\Delta ABC$ có:
Chung $\hat A$

$\widehat{ADE}=\widehat{AHD}=90^o-\widehat{DHB}=\hat B$ vì $ADHE$ là hình chữ nhật

$\to\Delta ADE\sim\Delta ACB(g.g)$

2.Để $\dfrac{S_{ADE}}{S_{DECB}}=\dfrac13$

$\to \dfrac{S_{ADE}}{S_{ADE}+S_{DECB}}=\dfrac{1}{1+3}$

$\to  \dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\dfrac14$

$\to (\dfrac{DE}{BC})^2=\dfrac14$

$\to \dfrac{DE}{BC}=\dfrac12$

$\to DE=\dfrac12BC$

$\to AH=\dfrac12BC$

Gọi $M$ là  trung điểm $BC$

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A\to AM=MB=MC=\dfrac12BC$

$\to AH=AM$

$\to H,M$ trùng nhau vì $AH\le AM$ (quan hệ đường xiên, đường vuông góc)

$\to\Delta ABC$ có đường cao đồng thời là  trung tuyến

$\to\Delta ABC$ vuông cân tại $A$