Mình làm được `c)` rồi nhưng mình muốn xem cách giải khác. Mời các bạn làm!

a)

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta CAB$, ta có:

   $\widehat{ABC}$ chung

   $\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90{}^\circ $

Nên $\Delta AHB\sim\Delta CAB\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB}{BC}\Rightarrow AH.BC=AB.AC$

b)

Xét $\Delta CDE$ và $\Delta CAB$, ta có:

   $\widehat{ACB}$ chung

   $\widehat{CDE}=\widehat{CAB}=90{}^\circ $

Nên $\Delta CDE\sim\Delta CAB\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{CD}{CE}=\dfrac{CA}{CB}$

Lại có $\widehat{ACB}$ chung

Nên $\Delta CDA\sim\Delta CEB\left( c.g.c \right)$

Vậy $\widehat{DAE}=\widehat{EBH}$

c)

Có $\widehat{DAE}=\widehat{EBH}$

$\Rightarrow \widehat{DAE}+\widehat{C}=\widehat{EBH}+\widehat{C}$

$\Rightarrow \widehat{ADH}=\widehat{AEB}$

Mà $\Delta AHD$ vuông cân tại $H$ nên $\widehat{ADH}=45{}^\circ =\widehat{AEB}$

Vậy $\Delta AEB$ vuông cân tại $A$

Có $AM$ là trung tuyến nên cũng là đường phân giác

Vậy $AG$ là tia phân giác $\widehat{BAC}\Rightarrow \dfrac{GB}{GC}=\dfrac{AB}{AC}$

Dễ chứng minh $\Delta HAB\sim\Delta HCA\Rightarrow \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{HA}{HC}$

Vậy $\dfrac{GB}{GC}=\dfrac{HA}{HC}$

Tức là $\dfrac{GB}{GC}=\dfrac{HD}{HC}$   (do $HA=HD$)

Vậy $GB.HC=HD.GC$