Bốn gương phẳng (G1), (G2), (G3), (G4) quay mặt sáng vào nhau làm thành 4 mặt bên của một hình hộp chữ nhật. Chính giữa gương G1 có một lỗ nhỏ A a) Vẽ đường đi của một tia sáng (trên mặt phẳng giấy vẽ) đi từ ngoài vào lỗ A sau khi phản xạ lần lượt trên các gương (G2), (G3), (G4) rồi lại qua lỗ A ra ngoài. b) Tính đường đi của tia sáng trong hộp nói trên. Quãng đường đi có phụ thuộc vào vị trí lỗ A hay không ?

$a/$ $*$Cách vẽ:

$-$ Vẽ $A_1'$ đối xứng với $A$ qua $G_2$

$-$ Vẽ $A_2'$ đối xứng với $A_1'$ qua $G_3$

$-$ Vẽ $A_3'$ đối xứng với $A_2'$ qua $G_4$

$-$ Vẽ $A_3'A$ $(A_3'R)$ cắt $G_4$ tại $I_3$, ta được tia p/xạ $I_3R$

$-$ Vẽ $A_2'I_3$ cắt $G_3$ tại $I_2$, ta được tia $I_2I_3$

$-$ Vẽ $A_1'I_2$ cắt $G_2$ tại $I_1$, ta được tia $I_1I_2$

$-$ Nối $A$ với $I_1$, ta được tia $AI_1$

$\longrightarrow$ Ta được đường truyền từ $A\rightarrow I_1\rightarrow I_2\rightarrow I_3\rightarrow A$ (Như hình)

$b/$ Ta có:

$A$ đối xứng với $A_1'$ qua $G_2$

$I_1$ đối xứng với $I_1$ qua $G_2$

$\Rightarrow$ $AI_1$ đối xứng với $A_1'I_1$ qua $G_2$

Nên $AI_1=A_1'I_1$

$A_1'$ đối xứng với $A_2'$ qua $G_3$

$I_2$ đối xứng với $I_2$ qua $G_3$

$\Rightarrow$ $A_1'I_2$ đối xứng với $A_2'I_2$ qua $G_3$

Nên $A_1'I_2=A_2'I_2$

$⇔A_1'I_1+I_1I_2=I_2A_2'$

$A_2'$ đối xứng với $A_3'$ qua $G_4$

$I_3$ đối xứng với $I_3$ qua $G_4$

$\Rightarrow$ $A_2'I_3$ đối xứng với $A_3'I_3$ qua $G_4$

Nên $A_2'I_3=A_3'I_3$

$⇔A_2'I_2+I_2I_3=A_3'I_3$

$⇔A_1'I_1+I_1I_2+I_2I_3=A_3'I_3$

Suy ra: $I_3A+A_1'I_1+I_1I_2+I_2I_3=I_3A+A_3'I_3=AA_3'$

$*$Bạn có thế rút ngắn phần này bằng cách ghi 'Chứng minh tương tự' (Cmtt) sau khi chứng minh $A_1'I_2=A_2'I_2$ rồi suy ra các phần cần thiết khác

Vẽ $AC$ $\bot$ $A_2'A_3'$ tại $C$

Ta có: $AJ=JA_1'$ (Theo hình vẽ)

Nên $AJ+JA_1'=2AJ=AA_1'$

$A_1'L=LA_2'$ (Theo hình vẽ)

Nên $A_1'L+LA_2'=2A_1'L=A_1'A_2'$

mà $A_1'L=JM$ (T/c hình chữ nhật hoặc k/c $2$ đoạn thẳng song song) $^{*)}$

$\Rightarrow A_1'A_2'=2JM$ ($JM$ chính là chiều dài của hình hộp chữ nhật)

Vì $AC=A_1'A_2'$ (K/c $2$ đoạn thẳng song song) $^{**)}$

Nên $AC=2JM$

$AJ=JA_1'$ (Theo hình vẽ)

Nên $AJ+JA_1'=2AJ=AA_1'$

$\Rightarrow$ $A_2'C=AA_1'=2AJ$ $^{**)}$

Ta có: $NL=NM+LM$

và $NL=KA_2'$ (T/c hình chữ nhật) $^{***)}$

Nên $KA_2'=NM+LM=NM+JA_1'=NM+AJ$

$KA_2'=KA_3'$ (Theo hình vẽ)

$\Rightarrow A_2'A_3' = 2KA_2' = 2NM+2AJ$

Suy ra: $A_3'C=A_2'A_3'-A_2'C=2NM+2AJ-2AJ=2NM$ ($NM$ là chiều rộng của hhcn)

$ΔACA_3'$ $\bot$ tại $C$

Có $AA_3'^2=AC^2+A_3'C^2$ (Định lí Py-ta-go)

$⇔(I_3A+A_1'I_1+I_1I_2+I_2I_3)^2=(2JM)^2+(2NM)^2$

$⇔(I_3A+A_1'I_1+I_1I_2+I_2I_3)^2=4JM^2+4NM^2$

$⇔(I_3A+A_1'I_1+I_1I_2+I_2I_3)^2=4(JM^2+NM^2)$

$⇒I_3A+A_1'I_1+I_1I_2+I_2I_2=2\sqrt{JM^2+NM^2}$

$⇔I_3A+A_1'I_1+I_1I_2+I_2I_2=2\sqrt{JN^2}$ (Định lí Py-ta-go) $^{+)}$

$⇔I_3A+A_1'I_1+I_1I_2+I_2I_2=2|JN|=2JN$ $($Vì $JN>0)$

Vì độ dài của đường truyền luôn bằng $2JN$, chỉ phụ thuộc vào $JN$ hay độ dài đường chéo của hhcn nên nó không phụ thuộc vào vị trí của lỗ $A$

Vậy quãng đường đi của tia sáng trong hộp nói trên bằng $2$ lần độ dài đường chéo, dộ dài quãng đường đi không phụ thuộc vào vị trí của lỗ $A$

__________________

$-$Bổ sung:

$^{*)}$ Dùng t/c hình chữ nhật:

Tứ giác $JMLA_1'$

Có $\widehat{J}=90^o$

      $\widehat{M}=90^o$ (Do đó là $2$ góc của hcn $JMNP$)

      $\widehat{L}=90^o$ (Theo hình vẽ, $A_1'L$, $A_2'L$ $\bot$ $G_3$)

Nên tứ giác $JMLA_1'$ là hình chữ nhật

Suy ra: $A_1'L=JM$

$^{**)}$ K/c 2 đoạn thẳng song song:

Ta có: $A_2'C$ $(A_2'K)$ $\bot$ $G_4$

            $A_1'A$ $(JP)$ $\bot$ $G_4$

Nên $AA_1'$ // $A_2'C$ (Đ/l $1$, quan hệ từ $\bot$ đến //) $^{(1)}$

$PK$ // $AC$ (Cùng $\bot$ với $A_2'A_3'$)

$PK$ $\bot$ $G_1$

Nên $AC$ $\bot$ $G_1$ hay $AA_1'$ (Đ/l $2$, quan hệ từ $\bot$ đến //) $^{(2)}$

và $A_2'C$ $\bot$ $AC$ $^{(3)}$

Từ $^{(1)}$, $^{(2)}$ và $^{(3)}$ $\Rightarrow$ $AC=A_1'A_2'$ và $AA_2'C=AA_1'$

$^{***)}$ T/c hình chữ nhật:

Tứ giác $NKA_2'L$

Có $\widehat{N}=90^o$ ($1$ trong các góc của hcn $JMNP$)

      $\widehat{K}=90^o$ $A_2'K$ $\bot$ $G_4$

      $\widehat{L}=90^o$ (Theo hình vẽ, $A_1'L$, $A_2'L$ $\bot$ $G_3$)

Nên tứ giác $NKA_2'L$ là hình chữ nhật

Suy ra: $NL=KA_2'$

$^{+)}$ $ΔJMN\space\bot$ tại $M$ (Do $JMNP$ là hcn)

Nên $JN^2=JM^2+MN^2$ (Định lí Py-ta-go)

$*$Lưu ý: $\sqrt[]{JN^2}=|JN|$ là một HĐT của Toán lớp $9$

Vì $JN>0$ nên $|JN|=JN$