Cho pt x^2 - 2(m-1)x + 2m-5 = 0. Tìm m để pt có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1^2 + x2^2 = 6

Đáp án:

`m = 2` hoặc `m = 1`

Giải thích các bước giải:

 Để phương trình có hai nghiệm `x_1 , x_2` thì:

`\Delta ≥ 0`

`⇔ [-2(m - 1)]^2 - 4.1.(2m - 5) ≥ 0`

`⇔ 4(m^2 - 2m + 1) - 8m + 20 ≥ 0`

`⇔ 4m^2 - 8m + 4 - 8m + 20 ≥ 0`

`⇔ 4m^2 - 16m + 24 ≥ 0`

`⇔ 4m^2 - 16m + 16 + 8 ≥ 0`

`⇔ (2m - 4)^2 + 8 ≥ 0` (thỏa mãn với mọi `m`)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = \dfrac{-[-2(m - 1)]}{1} = 2(m - 1) = 2m - 2\\x_1.x_2 = \dfrac{2m - 5}{1} = 2m - 5 \end{cases}$

Ta có:

`x_1^2 + x_2^2 = 6`

`⇔ x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 - 2x_1x_2 = 6`

`⇔ (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 6`

`⇔ (2m - 2)^2 - 2(2m - 5) = 6`

`⇔ 4m^2 - 8m + 4 - 4m + 10 - 6 = 0`

`⇔ 4m^2 - 12m + 8 = 0`

`⇔ 4m^2 - 12m + 9 - 1 = 0`

`⇔ (2m - 3)^2 - 1 = 0`

`⇔ (2m - 3 - 1)(2m -  3+ 1) = 0`

`⇔ (2m - 4)(2m - 2) = 0`

`⇔` $\left[\begin{matrix} 2m - 4 = 0\\ 2m - 2 = 0\end{matrix}\right.$

`⇔` $\left[\begin{matrix} 2m = 4\\ 2m = 2\end{matrix}\right.$

`⇔` $\left[\begin{matrix} m = 2\\ m = 1\end{matrix}\right.$

Vậy `m = 2` hoặc `m = 1` thì phương trình có hai nghiệm `x_1,x_2` thỏa mãn `x_1^2 + x_2^2 = 6`