Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Gọi H là giao điểm của ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC. a) Chứng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Vẽ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh tam giác ABD và tam giác AKC đồng dạng với nhau. Suy ra AB.AC = 2R.AD. c) Chứng minh OC vuông góc với DE. Giúp e ý c ạ

a)

+) Ta có: $BE, CF$ là đường cao của $\Delta ABC$ nên $BE\bot AC, CF\bot AB$

$\Rightarrow\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=90^o$

Tứ giác $AEHF$ có: $\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=90^o$

mà chúng ở vị trí đối đỉnh nên $AEHF$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $(AH)$

+) Ta có $\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^o$

$\Rightarrow E, D$ cùng nhìn cạnh $AB$ dưới góc $90^o$ nên $AEDB$ nội tiếp đường tròn đường kính $(AB)$

b) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AKC$ có:

$\widehat{ABD}=\widehat{AKC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$)

$\widehat{ADB}=\widehat{ACK}=90^o$

$\Rightarrow\Delta ABD\sim\Delta AKC$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{AB}{AK}=\dfrac{AD}{AC}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow AB.AC=AD.AK=AD.2R$

c)

Dựng $Cx\bot OC$ hay $Cx$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\Rightarrow\widehat{BCx}=\widehat{BAC}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, góc nội tiếp cùng chắn cung $BC$)

$\widehat{EDC}=\widehat{BAC}$ (do $AEDB$ nội tiếp)

$\Rightarrow\widehat{BCx}=\widehat{EDC}$ mà chúng ở vị trí so le trong 

$\Rightarrow DE//Cx$ mà $Cx\bot OC\Rightarrow DE\bot OC$.