Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn sao cho OM = 2R. Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD (BC < CD). Gọi H là giao điểm OM và AB. a) Tính số đo cung AB của (O) và tam giác MAB đều b) Chứng minh : MH.MO = MC.MD. c) Chứng minh : góc COD = góc CHD. d) Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB, AD lần lượt tại E, F. Chứng minh : CE = EF

a, $ΔAOM\bot A$

$⇒ \cos\widehat{AOM} = \dfrac{OA}{OM} = \dfrac{R}{2R} = \dfrac{1}{2}$

$⇒ \widehat{AOM} = 60^o$

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

$\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$

⇒ $\widehat{AOB} = \widehat{AOM} + \widehat{BOM} = 2. 60^o = 120^o$

⇒ sđ$\stackrel\frown{AB}=120^o$

$\Delta OAM$ có $\widehat{OAM}=90^o$ (MA là tiếp tuyến), $\widehat{AOM}=60^o$

$\Rightarrow\widehat{AMO}=180^o-\widehat{OAM}-\widehat{AOM}=30^o$ (tính chất tổng ba góc trong tam giác)

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có: MA = MB nên $\Delta MAB$ cân đỉnh $M$

mà $\widehat{AMB} = \widehat{AMB}+\widehat{BMH}= 60^o$

⇒ ΔAMB đều (đpcm)

b, MA = MB, OA = OB

⇒ OM là trung trực của AB ⇒ OM ⊥ AB

ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao ⇒ $MH.MO = MA^2$

Xét $\Delta MAC$ và $\Delta MDA$ có:

$\widehat M$ chung

$\widehat{MAC} = \widehat{MDA}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung AC)

⇒ ΔMAC ~ ΔMDA (g.g)

⇒ $\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MA}$ 

⇒ $MC.MD = MA^2$

⇒ $MC.MD = MH.MO$ (đpcm)

c, Xét ΔMHC và ΔMDO có:

MC.MD = MH.MO ⇒ $\dfrac{MC}{MO}=\dfrac{MH}{MD}$ 

$\widehat M$ chung

⇒ ΔMHC ~ ΔMDO (c.g.c)

⇒ $\widehat{MHC} = \widehat{MDO}$

Ta có $\widehat{MHC}+\widehat{OHC}=180^o$

$\Rightarrow\widehat{MDO}+\widehat{OHC}=180^o$

⇒ Tứ giác OHCD nội tiếp

⇒ $\widehat{COD} = \widehat{CHD}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CD)

d, Gọi I là trung điểm của CD $\Rightarrow OI\bot DC$

Tứ giác $OIAM$ có: $\widehat{OIM}=\widehat{OAM}=90^o$

$\Rightarrow OIAM$ nội tiếp đường tròn đường kính $(OM)$ (*)

Tứ giác $OIMB$ có $\widehat{OIM}+\widehat{OBM}=180^o$

$\Rightarrow OIMB$ nội tiếp đường tròn đường kính $(OM)$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $O,I,A,M,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $(OM)$

$⇒\widehat{BIM}=\widehat{BAM}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BM)

mà $\widehat{BEC}=\widehat{BAM}$ (hai góc ở vị trí đồng vị do $AM//EC(\bot OA)$)

Từ hai điều trên suy ra $\widehat{BIM}=\widehat{BEC}$

$\Rightarrow BIEC$ nội tiếp

Suy ra: $\widehat{CIE} = \widehat{CBE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CE)

mà $\widehat{CBE}= \widehat{CDA}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Từ 2 điều trên suy ra $\widehat{CIE}=\widehat{CDA}$ mà chúng ở vị trí đồng vị nên IE//DA

$I$ là trung điểm của DC

nên IE là đường trung bình của $\Delta CDF$

nên E là trung điểm của CF ⇒ CE = EF (đpcm).