Cho tam giác ABC (AB < AC) có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) và đường cao AH. Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC và đường tròn (O) lần lượt tại M, N và D. a) Chứng minh AM.AB = AN.AC và tứ giác BCNM nội tiếp. b) Vẽ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh AK vuông góc với MN.

a, AH ⊥ BC (gt) ⇒ $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90°$

Gọi F là tâm đường tròn đường kính AH

Xét (F), đường kính AH có:

+ M ∈ (F) ⇒ $\widehat{AMH}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ HM ⊥ AB

+ N ∈ (F) ⇒ $\widehat{ANH}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ HN ⊥ AC

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔAHB vuông tại H ($\widehat{AHB}=90°$) , HM ⊥ AB (cmt) có: AH² = AM.AB

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔAHC vuông tại H ($\widehat{AHC}=90°$) , HN ⊥ AC (cmt) có: AH² = AN.AC

⇒ AM.AB = AN.AC

⇒ $\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$

Xét ΔAMN và ΔACB có:

$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$ (cmt)

$\widehat{BAC}$: góc chung

⇒ ΔAMN ~ ΔACB (c.g.c)

⇒ $\widehat{AMN}=\widehat{ACB}$ (hai góc tương ứng)

Hay $\widehat{AMN}=\widehat{NCB}$

Mà $\widehat{AMN}+\widehat{NMB}=180°$ (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{NCB}+\widehat{NMB}=180°$

Xét tứ giác BCNM có: $\widehat{NCB}+\widehat{NMB}=180°$ (cmt)

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác BCNM nội tiếp 

b, Gọi giao điểm của AK và MN là I

Xét (O), đường kính AK có:

C ∈ (O) ⇒ $\widehat{ACK}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét ΔACK vuông tại C ($\widehat{ACK}=90°$) có:

$\widehat{AKC}+\widehat{CAK}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Hay $\widehat{AKC}+\widehat{NAI}=90°$

Xét (O) có: $\widehat{AKC}=\widehat{ABC}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{AC}$)

Có ΔAMN ~ ΔACB (cmt)

⇒ $\widehat{ANM}=\widehat{ABC}$ (hai góc tương ứng)

⇒ $\widehat{AKC}=\widehat{ANM}$

Mà $\widehat{AKC}+\widehat{NAI}=90°$ (cmt)

⇒ $\widehat{ANM}+\widehat{NAI}=90°$

Hay $\widehat{ANI}+\widehat{NAI}=90°$

Xét ΔAIN có: $\widehat{ANI}+\widehat{NAI}=90°$ (cmt)

⇒ ΔAIN vuông tại I

⇒ AK ⊥ MN tại I