Trên đường tròn (O) cho các điểm A,B,C,D theo thứ tự đó.Gọi A1,B1,C1,D1 lần lượt là điểm chính giữa của các cung AB,BC,CD và DA.Chứng minh rằng các đường thẳng A1C1 và B1D1 vuông góc với nhau

Giải thích các bước giải:

Gọi $A_1C_1\cap B_1D_1=E$

Ta có $A_1,B_1,C_1,D_1$ nằm giữa cung $AB,BC,CD,DA$

$\to A_1A=A_1B, B_1B=B_1C, C_1C=C_1D, D_1D=D_1A$

$\to\widehat{A_1EB_1}=\widehat{EA_1D_1}+\widehat{ED_1A_1}$

$\to\widehat{A_1EB_1}=\widehat{C_1A_1D_1}+\widehat{B_1D_1A_1}$

$\to\widehat{A_1EB_1}=(\widehat{C_1A_1D}+\widehat{DA_1D_1})+(\widehat{B_1D_1B}+\widehat{BD_1A_1})$

$\to\widehat{A_1EB_1}=(\dfrac12\widehat{C_1OD}+\dfrac12\widehat{DOD_1})+(\dfrac12\widehat{B_1OB}+\dfrac12\widehat{BOA_1})$

$\to\widehat{A_1EB_1}=\dfrac12(\widehat{C_1OD}+\widehat{DOD_1}+\widehat{B_1OB}+\widehat{BOA_1})$

$\to\widehat{A_1EB_1}=\dfrac12(\widehat{C_1OC}+\widehat{AOD_1}+\widehat{B_1OC}+\widehat{AOA_1})$

Tương tự chứng minh được:

$\widehat{A_1ED_1}=\dfrac12(\widehat{C_1OC}+\widehat{AOD_1}+\widehat{B_1OC}+\widehat{AOA_1})$

$\to \widehat{A_1EB_1}=\widehat{A_1ED_1}$

Mà $\widehat{A_1EB_1}+\widehat{A_1ED_1}=180^o$

$\to \widehat{A_1EB_1}=\widehat{A_1ED_1}=90^o$

$\to A_1C_1\perp B_1D_1$