Cho a,b,c>0 CMR $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) \geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)$

Ta có:

$(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) = a^3 + b^3 +c^3 + ab(a + b) + bc(b+ c) + ca(c+ a)$

$= a^3 + b^3 + c^3 + ab^2 + bc^2 + ca^2 + a^2b + b^2c + c^2a$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:

$a^3 + ab^2 \geq 2a^2b$

$b^3 + c^2 \geq 2b^2c$

$c^3 + ca^2 \geq 2c^2a$

Do đó:

$a^3 + b^3 + c^3 + ab^2 + bc^2 + ca^2 + a^2b + b^2c + c^2a \geq 2(a^2b + 2b^2c + 2c^2a) + a^2b + b^2c + c^2a = 3(a^2b + b^2c + c^2a)$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a =b = c$