(ĐKXĐ):

    $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

    $x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

    $x^2 - 4 \neq 0 \implies (x-2)(x+2) \neq 0 \implies x \neq 2$ và $x \neq -2$

    Vậy ĐKXĐ: $x \neq 2$ và $x \neq -2$.

Rút gọn  Q:

    $Q = \frac{x-1}{x+2} + \frac{5x-2}{(x-2)(x+2)}$

    $Q = \frac{(x-1)(x-2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{5x-2}{(x-2)(x+2)}$

    $Q = \frac{x^2 - 2x - x + 2 + 5x - 2}{(x-2)(x+2)}$

    $Q = \frac{x^2 + 2x}{(x-2)(x+2)}$

    $Q = \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}$

    $Q = \frac{x}{x-2}$

Tính  $\frac{Q}{P}$:

    $\frac{Q}{P} = \frac{\frac{x}{x-2}}{\frac{x+3}{x-2}}$

    $\frac{Q}{P} = \frac{x}{x-2} \cdot \frac{x-2}{x+3}$

    $\frac{Q}{P} = \frac{x}{x+3}$

    (Điều kiện thêm: $x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$)

   

    Ta có: $\frac{x}{x+3} = \frac{(x+3) - 3}{x+3} = 1 - \frac{3}{x+3}$

   

    Suy ra, $x+3$ phải là ước của 3.

    Ư(3) = $\{1, -1, 3, -3\}$

     $x + 3 = 1 \implies x = 1 - 3 = -2$ (Loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ)

     $x + 3 = -1 \implies x = -1 - 3 = -4$ (Nhận)

     $x + 3 = 3 \implies x = 3 - 3 = 0$ (Nhận)

     $x + 3 = -3 \implies x = -3 - 3 = -6$ (Nhận)

    Vậy Các giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $\frac{Q}{P}$ có giá trị nguyên là: $x \in \{-6, -4, 0\}$.