Chứng minh các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên . a) 2n+1/2n+3 b)14n + 17/21n + 25 c) 12n+1 / 30n+2

$a$) Đặt $d$ $=$ `ƯCLNN(2n+1;2n+3)`

`⇒` $\left\{\begin{matrix} 2n+1 \vdots d& \\ 2n+3 \vdots d& \end{matrix}\right.$

$⇒ (2n+3)-(2n+1) \vdots d$

$⇔ 2 \vdots d$

$⇔ d$ $∈$ `Ư(2)={±1;2}`

Mà $2n+1;2n+3 \not\vdots 2$

$⇒ d$ $∈$ `{±1}`

$⇒ d=1$ vì $d$ lớn nhất

  Vậy $\dfrac{2n+1}{2n+3}$ là phân số tối giản. ($đpcm$) 

$b$) Đặt $d$ $=$ `ƯCLNN(14n+17;21n+25)`

`⇒` $\left\{\begin{matrix} 14n + 17 \vdots d& \\ 21n+25 \vdots d& \end{matrix}\right.$

$⇒ 3(14n+17) - 2(21n+25) \vdots d$

$⇔ 42n + 51  - 42n- 3n - 50 \vdots d$

$⇔ 1 \vdots d$

$⇔ d$ $∈$ `Ư(1)={±1}`

$⇒ d=1$ vì $d$ lớn nhất

  Vậy $\dfrac{14n+17}{21n+25}$ là phân số tối giản. ($đpcm$) 

$c$) Đặt $d$ $=$ `ƯCLNN(12n+1;30n+2)`

`⇒` $\left\{\begin{matrix} 12n+1 \vdots d& \\ 30n+2 \vdots d& \end{matrix}\right.$

$⇒ 5(12n+1)-2(30n+2) \vdots d$

$⇔ 60n + 5 - 60n - 4 \vdots d$

$⇔ 1 \vdots d$

$⇔ d$ $∈$ `Ư(1)={±1}`

$⇒ d=1$ vì $d$ lớn nhất

  Vậy $\dfrac{12n+1}{30n+2}$ là phân số tối giản. ($đpcm$)