Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC và đồng thời BD là tia phân giác của ADC . a) Tính các góc của hình thang cân ABCD b) Biết BC= 6cm, tính chu vi và diện tích của hình thang cân ABCD

Đáp án+ Giải thích các bước giải:

 a. Vì $ABCD$ là hình thang cân nên $AD = BC.$ 

Vì $DB$ phân giác $\widehat{ADC}$ nên $\widehat{ADB} = \widehat{BDC}$ và $\widehat{ABD} = \widehat{BDC}$ ( so le)

$\Rightarrow \widehat{ADB} = \widehat{ABD} \Rightarrow Δ DAB$ cân tại $A \Rightarrow AD = AB $.

Có $\widehat{ADC}  = \widehat{BCD} = 2.\widehat{BDC}$ vì $BD⊥ BC \Rightarrow Δ DBC$ vuông tại $B \Rightarrow  \widehat{BDC} + \widehat{BCD} = 90^o$

$\Rightarrow  \widehat{BDC} + 2.\widehat{BDC} = 90^o \Rightarrow \widehat{BDC} = 30^o \Rightarrow \widehat{ADC} = \widehat{BCD} = 2.30^o = 60^o$ và $\widehat{DAB} = \widehat{CBA} = 120^o$

b. Theo trên : $AD = AB = BC = 6 cm$ và tam giác $DBC$ vuông tại $B$ và có $\widehat{C} = 60^o \Rightarrow CD = 2BC = 12 cm$

$\Rightarrow C_{ABCD} = DA + AB +  BC + CA = 6 + 6 + 6 +12 = 30 cm$

Vẽ $BH⊥  CD \Rightarrow BH$ đường cao hình thang $ABCD$ và của tam giác $DBC $.

Trong tam giác $BHC$ vuông tại $H$ có $\widehat{C} = 60^o \Rightarrow BH = BC.\dfrac{\sqrt{3}}{2} =  \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + BC).BH}{2} = (6 + 12).3. \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 27.\sqrt{3} cm^2$