a) Tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn và xác định tâm đường tròn đó.

* Chứng minh:

* Xét tứ giác AMHN, ta có:

* Góc AMH = 90° (HM vuông góc AB)

* Góc ANH = 90° (HN vuông góc AC)

* Suy ra góc AMH + góc ANH = 180°

* Vậy tứ giác AMHN nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°).

* Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHN là trung điểm của AH.

b) Góc AMN = góc NCB.

* Chứng minh:

* Vì tứ giác AMHN nội tiếp (chứng minh trên), suy ra góc AMN = góc AHN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN).

* Mà góc AHN = góc ACB (cùng phụ với góc HAC).

* Suy ra góc AMN = góc ACB.

* Mà góc ACB = góc NCB.

* Suy ra góc AMN = góc NCB.

c) 1/AK = 1/HB + 1/HC.

* Chứng minh:

* Gọi E là giao điểm của AI và MN.

* Vì tam giác ABC vuông tại A, I là trung điểm BC, suy ra AI = IC = IB = BC/2.

* Suy ra tam giác AIC cân tại I.

* Suy ra góc IAC = góc ICA.

* Mà góc ICA = góc HNA (cùng phụ với góc HAC).

* Suy ra góc IAC = góc HNA.

* Xét tam giác AKN và tam giác HNA, ta có:

* Góc A chung

* Góc AKN = góc HNA = 90°

* Suy ra tam giác AKN đồng dạng với tam giác HNA (g.g).

* Suy ra AK/AN = AN/AH.

* Suy ra AK.AH = AN².

* Xét tam giác AHB, ta có:

* AN² = AC.AN = AC.HC

* Suy ra AK.AH = AC.HC.

* Suy ra AK/HC = AC/AH.

* Suy ra AK.AH = AC.HC.

* Suy ra AK/AC = HC/AH.

* Xét tam giác AKC và tam giác AHC, ta có:

* Góc A chung

* Góc AKC = góc AHC = 90°

* Suy ra tam giác AKC đồng dạng với tam giác AHC (g.g).