cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O). vẽ tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O) với A và B là các tiếp điểm. vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O ( C nằm giữa M và D), OM cắt AB với đường tròn (O) lần lượt tại H và I. chứng minh 1, tứ giác MAOB nội tiếp 2, MC.MD=MA2 3, OH.+MC.MD=MO2 4, CI là tia phân giác góc MCH

1, *Xét tứ giác MAOB có :

góc MAO = 90∘ (vì MA là tiếp tuyến của đường tròn )

góc MBO = 90∘ (vì MB là tiếp tuyến của đường tròn )

⇒ góc MAO + góc MBO = 90∘+90∘ = 180∘ (2 góc đối nhau)

⇒ tứ giác MAOB nội tiếp (d/h)

2, *Xét ΔMAC và ΔMDA có :

góc MAC = góc MDA (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC)

góc AMD chung

⇒ ΔMAC ∝ ΔMDA (g.g)

⇒$\frac{MA}{MD }$ = $\frac{MC}{MA}$ (c.c.t.ư)

⇒MA^2 = MC.MD(đpcm)

3, * Có : MA =MB (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ Điểm M cách đều 2 điểm A,B

              OA = OB = R ⇒ Điểm O cách đều 2 điểm A,B

Suy ra OM là đường trung trực của AB (t/c)

⇒ OM ↓ AB tại H

⇒ AH là đường cao

* Xét ΔMAO có góc MAO = 90∘(cmt) , đường cao AH (cmt)

⇒ MH.MO = MA² (hệ thức lượng trong Δ vuông)

⇒ OH.OM=OA²( hệ thức lượng trong Δ vuông )   (1)

* có : MC.MD=MA² (cmt)   (2)

* Cộng vế với vế (1),(2) ta được :

OH.OM+MC.MD = OA² + MA² = MO²(đpcm) (OA²+MA²=OM² theo pitago)

4, * Có : MH.MO = MA²(cmt)

             MC.MD=MA² (cmt)

⇒ MH.MO=MC.MD

⇒$\frac{MC}{MH}$ = $\frac{MO}{MD}$ 

*Xét Δ MCH và ΔMOD có :

$\frac{MC}{MH}$ = $\frac{MO}{MD}$ (cmt)

góc DMO chung

⇒ Δ MCH ∝ ΔMOD (c.g.c)

⇒ góc MHC = góc MDO(c.g.t.u)

* Xét tứ giác CHOD có : góc MHC = góc MDO(cmt)

⇒ tứ giác CHOD nội tiếp (d/h)

⇒ góc HCD = góc KOD (t/c) 

* Có : góc KCD = $\frac{1}{2}$ sđ cung DK (góc ntiếp chắn cung DK)

góc KOD = sđ cung DK (góc ở tâm chắn cung DK)

⇒góc KCD = $\frac{1}{2}$ góc KOD = $\frac{1}{2}$ góc HCD(vì góc HCD = góc KOD cmt )

⇒ CK là tia p/g của góc HCD (t/c)  (3)

*Mà góc ICK = 90∘(góc ntiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ IC ↓ CK  (4)

Từ (3) , (4) suy ra : CI là tia phân giác góc MCH (đpcm)