`a)`

Xét `Delta ABC` vuông tại `A`, ta có:

`AH^2=BH.CH` (hệ thức lượng)

`AH^2=4.6`

`AH^2=24`

`AH=sqrt{24}=2sqrt{6}cm` (vì AH>0)

Ta có: `BC=HC+BH=4+6=10(cm)`

Xét `Delta ABC` vuông tại `A`, ta có:

`AB^2=BH.BC` (hệ thức lượng)

`AB^2=4.10`

`AB^2=40`

`AB=2sqrt{10}cm` (vì AB >0)

Xét `Delta ABC` vuông tại `A`, ta có:

`AC^2=CH.BC` (hệ thức lượng)

`AC^2=6.10`

`AC^2=60`

`AC=2sqrt{15}cm` (vì AC>0)

`b)`

Vì M là trung điểm `AC=>AM=(AC)/2=(2sqrt{15})/2=sqrt{15} (cm)`

Xét `Delta ABM` vuông tại `A`, ta có:

`tan hat{AMB}=(AB)/(AM)`

`tan hat{AMB}=(2sqrt{10})/(sqrt{15})`

`=>hat{AMB}≈58^o 31'`

`c)`

Xét `Delta ABM` vuông tại `A`, ta có: `AB^2=BK.BM` (hệ thức lượng)

Xét `Delta ABC` vuông tại `A`, ta có: `AB^2=BH.BC` (hệ thức lượng)

`=>BK.BM=BH.BC`

`=>(BK)/(BH)=(BC)/(BM)`

Xét `Delta BKC` và `Delta BHM`, ta có:

`(BK)/(BH)=(BC)/(BM)`

`hat{HBK}` là góc chung

`=>Delta BKC~Delta BHM (c.g.c)`