Đặt `p^2 + 3pq + 4q^2 = a^2 (a in NN)`

`+)` Với `p = q = 3 to a^2 = 72 to a = pm 6sqrt{2}` (không thỏa mãn)

`+)` Với `p = 3 ; q` là số nguyên tố `ne 3`

`to 9 + 9q + 4q^2 = a^2`

Xét `a^2 - (2q + 2)^2 = (4q^2 + 9q + 9) - (4q^2 + 8q + 4)`

` = q + 5 > 0 to  a^2 > (2q + 2)^2`

Xét `(2q + 3)^2 - a^2 = (4q^2 + 12q + 9) - (4q^2 + 9q + 9)`

` = 3q > 0 to a^2 < (2q + 3)^2`

`to (2q + 2)^2 < a^2 < (2q + 3)^2 to` Không tồn tại `a` thỏa mãn

`+)` Với `q = 3 ; p` là số nguyên tố bất kì `ne 3`

`to p^2 + 9p + 36 = a^2`

Xét `a^2 - (p + 4)^2 = (p^2 + 9p + 36) - (p^2 + 8p + 16)`

` = p + 20 > 0 to a^2 > (p + 4)^2`

Xét `(p + 6)^2 - a^2 = (p^2 + 12p + 36) - (p^2 + 9p + 36)`

` = 3p > 0 to a^2 < (p + 6)^2`

`to (p + 4)^2 < a^2 < (p + 6)^2` , mà `a; p in NN to a^2 = (p + 5)^2`

`to p^2 + 9p + 36 = p^2 + 10p + 25`

`to p^2 + 10p - p^2 - 9p = 36 - 25`

`to p = 11` (thỏa mãn)

`+)` Với `p ; q ne 3`

Vì `p,q` là số nguyên tố `to p^2 ; q^2 equiv 1 (mod 3) to 4q^2 equiv 1 (mod 3) ; 3pq equiv 0 (mod 3)`

`to p^2 + 4q^2 + 3pq equiv 1 + 1 + 0 equiv 2 (mod 3)`

Mà `a^2 equiv 0,1 (mod 3) to` Mâu thuẫn

 Vậy cặp `(p ; q)` thỏa mãn yêu cầu đề bài là `(11 ; 3)`