Đặt `9pq + 1 = a^2 (a in NN^**)`

`to 9pq = a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)`

`+) p = q = 2 to p + 3q - 2 = 6` không phải là số chính phương

`+)` Tồn tại ít nhất `1` trong `2` số `= 2`

`*` `q` lẻ `; p = 2`

`to 3q` và `18q + 1` là số chính phương , mà `q` nguyên tố nên `q = 3 to 18q + 1 = 55` không phải là số chính phương

`* p` lẻ `; q = 2`

`to p + 4 ; 18p + 1` là số chính phương trình:

`{(p + 4=  c^2),(18p + 1 = d^2):} (c ; d in NN^**)`

`to {(p = c^2 - 4),(18p + 1 = d^2):}`

`to (c - 2)(c + 2) = p`

Mà `p` là số nguyên tố `; c - 2 < c + 2 to {(c-2=1),(c+2=p):} to p = 5`

`to 18p + 1 = 91` không phải là số chính phương

`+)` `p , q` đều lẻ `to 9pq` là số lẻ

`to gcd(a - 1 ; a + 1) = 1` , mà `a + 1 > a - 1`

`to {(a + 1 = 9p),(a - 1 = q):}` hoặc `{(a + 1 = 9q),(a - 1 = p):}` hoặc `{(a + 1 = p),(a - 1 = 9q):}` hoặc `{(a + 1 = q),(a - 1 = 9p):}`

Với `{(a + 1 = 9p),(a - 1 = q):}`

`to 9p - q = 2`

`to q = 9p - 2`

`to p + 3q - 2 = p + 3(9p - 2) - 2 = 28p - 8`

Để `p + 3q - 2` là số chính phương trình `to 28p - 8` là số chính phương

`to 28p - 8 = b^2 (b in NN^**)`

Ta có : `28p - 8 equiv 6 (mod 7)`

`b^2 equiv 0,1,2,4 (mod 7)`

`to` Mâu thuẫn

Với `{(a + 1 = 9q),(a - 1 = p):} to 9q - p = 2 to p = 9q - 2`

`to p + 3q - 2 = 9q - 2 + 3q - 2 = 12p` và `9q(9q - 2) + 1` là số chính phương

Mà `p` nguyên tố lẻ nên `p = 3 to 9q(9q - 2) + 1 = 676` không phải là số chính phương (loại)

Với `{(a + 1 = q),(a - 1 = 9p):} to q - 9p = 2 to q = 9p + 2`

`to p + 3q - 2 = p + 3(9p + 2) - 2 = 28p + 4` là số chính phương

`to 28p + 4 = 4k^2 (k in NN^**)`

`to 7p + 1 = k^2 to 7q = (k - 1)(k + 1)`

Vì `k -1  < k + 1 ; 7 , p` đều là số nguyên tố 

TH1 : `{(k - 1 = 7),(k + 1 = p):} to p = 9` (không thỏa mãn)

TH2 : `{(k -1 = p),(k + 1 = 7):} to p = 5` (thỏa mãn)

`to q = 47` (thỏa mãn)

Với `{(a + 1 = p),(a - 1 = 9q):} to p - 9q = 2 to p = 9q + 2`

`to p + 3q - 2 = 9q + 2 + 3q - 2 = 12q` và `9q(9q + 2) + 1` là số chính phương khi `q = 3`

Thử `9q(9q + 2) + 1 = 784` là số chính phương `to p = 29` (thỏa mãn)

Vậy các cặp `(p ; q)` thỏa mãn là : `(29 ; 3) ; (5 ; 47)`