Bài `1.45`

Công thức vi phân : `dy = y'(x) dx`

`a) y = 1/a arctg x/a (a ne 0)`

Công thức đạo hàm : `(arctg\ u)' = (u')/(1+u^2)`

`y' = 1/a . ( (x/a)')/(1 + (x/a)^2)`

`y' = 1/a . ( (1/a))/( (x^2 + a^2)/(a^2) )`

    ` = 1/(x^2 + a^2)`

`to dy = (dx)/(x^2 + a^2)`

`b) y = arcsin x/a (a ne 0)`

Công thức đạo hàm : `(arcsin\ u)' = (u')/(sqrt{1-u^2})`

`y' = ( (x/a)')/(sqrt{1 - (x/a)^2})`

   ` = (1/a)/(sqrt{ (a^2 - x^2)/(a^2)}`

    ` = (|a|)/(a sqrt{a^2 - x^2})`

Nếu `a > 0 to y' = 1/(sqrt{a^2 - x^2}) to dy = (dx)/(sqrt{a^2 - x^2})`

`a < 0 to y' = -1/(sqrt{a^2-x^2}) to dy = (-dx)/(sqrt{a^2-x^2})`

`c) y = 1/(2a) . ln| (x-a)/(x+a)| = 1/(2a) . ( ln|x - a| - ln|x + a|)`

`y' = 1/(2a) . ( 1/(x - a) - 1/(x + a) )`

    ` = 1/(2a) . (x + a - x + a)/((x-a)(x+a))`

     ` = 1/(2a) . (2a)/(x^2 - a^2) = 1/(x^2 - a^2)`

`to dy = (dx)/(x^2-a^2)`

`d) y = ln|x + sqrt{x^2 + a}|`

`y' = ( (x + sqrt{x^2 + a})')/(x + sqrt{x^2 + a})`

   ` =  ( 1 + (2x)/(2sqrt{x^2 + a}) )/(x + sqrt{x^2 + a})`

   ` = ( (x + sqrt{x^2 + a})/(sqrt{x^2 + a}) )/(x + sqrt{x^2 + a})`

    ` = 1/(sqrt{x^2 + a})`

`to dy = (dx)/(sqrt{x^2 + a})`