Tiến hành trải phẳng hình trụ

Gọi:

`x` là tọa độ theo phương vòng quanh hình trụ

`y` là tọa độ theo phương song song với trục hình trụ

Khi trải mặt trụ ra, một vòng quanh hình trụ có chiều dài `2\piR`

Chọn điểm đối diện với nút thắt làm `x=0`

Tại `x=0` , dây thẳng nên `=> y'(0)=0`

Nút thắt sẽ xuất hiện ở hai mép:`x=−\piR,\quad x=piR`

Do hình đối xứng, ta chỉ xét nửa bên phải: `0<=x<=\pi R`

Xét 1 đoạn dây rất nhỏ, gọi `theta` là góc hợp bởi tiếp tuyến với phương `x`

`T` là lực căng dây

Thành phần lực căng dây `H` theo phương `x` là `H=T\cos\theta`

Vì lực ma sát hướng theo trục hình trụ, ko có lực ma sát theo phương `x`. Do đó `H` ko đổi dọc theo dây

Xét 1 đoạn dây có độ dài `dx`

`=>` góc quay tương ứng quanh trục hình trụ là `d\varphi=(dx)/R`

`=>` hợp lực hướng vào tâm trụ là `dN=Hd\varphi=H/R dx`

Ở trạng thái giới hạn sắp trượt, lực ma sát đạt giá trị cực đại `dF=\mu dN`

`=> dF=(\mu H)/R dx`

Khi ta kéo nút thắt xuống dưới, dây có xu hướng trượt xuống nên lực ma sát tác dụng lên dây hướng lên trên

Thành phần lực căng dây theo phương `y` là `T\sin\theta`

Mà `T\sin\theta=T\cos\theta\tan\theta=H\tan\theta=Hy'`

Sự biến thiên của thành phần này trên đoạn `dx` cân bằng với lực ma sát: `d(Hy')=-dF`

Vì `H` không đổi `=> Hdy'=-\mu H/R dx`

`<=> (dy')/(dx)=-\mu/R`

`<=> y''=-\mu/R`

`=> y'=-\mu/Rx`

Vì vậy, khi trải mặt trụ ra, dây có dạng một parabol: `y=y(0)-\mu/(2R) x^2`

Độ chênh từ điểm đối diện đến nút thắt ở trạng thái giới hạn là `Delta y=(mu\pi^2 R)/2`

Chiều dài 1 nửa vòng dây: 

$\dfrac{L_0}{2}=\displaystyle\int\limits^{\pi R}_0 {\sqrt{1+(y')^2}} \, dx\\=\displaystyle\int\limits^{\pi R}_0 {\sqrt{1+\left(-\dfrac{\mu x}{R}\right)^2}}dx$ 

Đặt `u=(mu x)/R=\pi \mu,\qquad dx=R/mu du`

$\Rightarrow L_0=\dfrac{2R}{\mu}\displaystyle\int\limits^{\pi R}_0 {\sqrt{1+u^2}}du\\L_0=\dfrac{R}{\mu}\left[u\sqrt{1+u^2}+\arcsin{u} \right]^{\pi R}_0\\L_0=\pi R\sqrt{1+\pi^2\mu^2}+\dfrac{R}{\mu}\arcsin(\pi\mu)\\\boxed{L_0=R\left[\pi\sqrt{1+\pi^2\mu^2}+\dfrac{1}{\mu}\ln\left(\pi\mu+\sqrt{1+\pi^2\mu^2}\right)\right]}$

\(\\\quad\)

\(\\\quad\)

\(\\\quad\)

\(\\\quad\)

Nói thêm về điều mình nhận ra ở bài này

Khi dây đứng yên, lực ma sát thỏa mãn `dF<=\mu dN`

Do đó độ cong của đường dây khi trải ra phải thỏa mãn `|y''|<=\mu/R`

Suy ra trên nửa vòng dây: `|y'(x)|<=(\mu x)/R`

Vì thế chiều dài lớn nhất mà ma sát có thể giữ là $L_0=2\displaystyle\int\limits^{\pi R}_0 {\sqrt{1+\dfrac{\mu^2x^2}{R^2}}} dx$

`***` Nếu `L<=L_0`, ma sát có thể giữ dây ở trạng thái đứng yên

`***` Nếu `L> L_0`, ngay cả ma sát cực đại cũng không thể giữ dây, nên vòng dây sẽ trượt dọc theo hình trụ

vì vậy khi `\mu->0` thì `L_0->2\piR`

đúng với trường hợp không có ma sát :)))