Đáp án:

 \(\dfrac{{427}}{{12}}\left( s \right)\)

Giải thích các bước giải:

Thời gian ngắn nhất vật đi từ VTCB đến vị trí \( - \dfrac{A}{2}\) tương ứng với góc quét là: 

\(\begin{array}{l}
\sin \alpha  = \dfrac{{ - x}}{A} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \alpha  = \dfrac{\pi }{6}\left( {rad} \right)\\
 \Rightarrow {t_1} = \dfrac{\alpha }{\omega } = \dfrac{{\dfrac{\pi }{6}}}{{\dfrac{{2\pi }}{T}}} = \dfrac{T}{{12}} = \dfrac{1}{6}\\
 \Rightarrow T = 2\left( s \right)
\end{array}\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
{t_0} = 5s = 2,5T \Rightarrow {s_0} = 2,5.4A = 10A\\
 \Rightarrow 10A = 20 \Rightarrow A = 2\left( {cm} \right)
\end{array}\)

1. Tại thời điểm t = 0, vật có pha dao động là:

\(\cos {\varphi _0} = \dfrac{{{x_0}}}{A} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {\varphi _0} =  - \dfrac{\pi }{6}\left( {rad} \right)\)

Ta có: 

\(\cos {\varphi _1} = \dfrac{{{x_1}}}{A} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {\varphi _1} = \dfrac{\pi }{3}\left( {rad} \right)\)

Góc quét khi vật đi qua vị trí x = 1 lần thứ 2 là: 

\(\begin{array}{l}
\beta  = 2\pi  - \dfrac{\pi }{3} - \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{{3\pi }}{2}\left( {rad} \right)\\
 \Rightarrow {t_2} = \dfrac{\beta }{\omega } = \dfrac{{\dfrac{{3\pi }}{2}}}{{\dfrac{{2\pi }}{T}}} = \dfrac{3}{4}T = \dfrac{3}{4}.2 = 1,5\left( s \right)
\end{array}\)

Thời gian từ t = 0 đến khi vật đi qua vị trí x = 1 lần thứ 60 là: 

\({t_{60}} = {t_2} + \dfrac{{60 - 2}}{2}.T = 1,5 + 29.2 = 59,5\left( s \right)\)

2. Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\omega  = \dfrac{{2\pi }}{T} = \dfrac{{2\pi }}{2} = \pi \left( {rad/s} \right)\\
{v_{\max }} = \omega A = 2\pi \left( {cm/s} \right)\\
{v_0} =  - {v_{\max }}\sin {\varphi _0} =  - 2\pi \sin \left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \pi \left( {cm/s} \right)
\end{array}\)

Góc quét tương ứng kể từ t = 0 đến khi vật qua vị trí \(\left| v \right| = \pi \left( {cm/s} \right)\) lần thứ 3 là: 

\(\begin{array}{l}
\gamma  = \pi  + \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{{4\pi }}{3}\left( {rad} \right)\\
 \Rightarrow {t_3} = \dfrac{\gamma }{\omega } = \dfrac{{\dfrac{{4\pi }}{3}}}{\pi } = \dfrac{4}{3}\left( s \right)\\
 \Rightarrow {t_{83}} = {t_3} + \dfrac{{83 - 3}}{4}.T = \dfrac{4}{3} + 20.2 = \dfrac{{124}}{3}\left( s \right)
\end{array}\)

3. Ta có: 

\(\begin{array}{l}
{a_{\max }} = {\omega ^2}A = 2{\pi ^2}\left( {cm/{s^2}} \right)\\
\cos {\varphi _2} = \dfrac{{ - a}}{{{a_{\max }}}} = \dfrac{{{\pi ^2}\sqrt 2 }}{{2{\pi ^2}}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow {\varphi _2} = \dfrac{\pi }{4}\left( {rad} \right)
\end{array}\)

Góc quét tương ứng từ thời điểm t = 0 đến thời điểm \(a =  - \sqrt 2 {\pi ^2}\left( {cm/{s^2}} \right)\) lần thứ 2 là: 

\(\begin{array}{l}
\alpha  = 2\pi  - \dfrac{\pi }{4} - \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{{19\pi }}{{12}}\left( {rad} \right)\\
 \Rightarrow {t_2} = \dfrac{\alpha }{\omega } = \dfrac{{\dfrac{{19\pi }}{{12}}}}{\pi } = \dfrac{{19}}{{12}}\left( s \right)\\
 \Rightarrow {t_{36}} = {t_2} + \dfrac{{36 - 2}}{2}.T = \dfrac{{19}}{{12}} + 17.2 = \dfrac{{427}}{{12}}\left( s \right)
\end{array}\)