Đáp án + Giải thích các bước giải:

a)

Gọi $I$ là trung điểm $BC \Rightarrow A, G, I$ thẳng hàng.

Vì $G$ là trọng tâm $\Delta ABC \Rightarrow \dfrac{AG}{AI} = \dfrac{2}{3}$

Ta có $SM = MN = NA \Rightarrow \dfrac{AM}{AS} = \dfrac{2}{3}$

Xét $\Delta ASI$ có $\dfrac{AG}{AI} = \dfrac{AM}{AS} = \dfrac{2}{3}$

$\Rightarrow GM \parallel SI$ (định lý Thales đảo)

Mà $SI \subset (SBC)$

$\Rightarrow GM \parallel (SBC)$

b)

Ta có $D$ đối xứng $A$ qua $G \Rightarrow G$ là trung điểm $AD \Rightarrow AG = GD$.

Mà $AG = 2GI \Rightarrow GD = 2GI \Rightarrow I$ là trung điểm $GD$.

Tứ giác $BGDC$ có hai đường chéo $BC$ và $GD$ cắt nhau tại trung điểm $I$.

$\Rightarrow BGDC$ là hình bình hành $\Rightarrow CD \parallel BG$.

Mà $BG \subset (NBG) \Rightarrow CD \parallel (NBG)$ (1)

Xét $\Delta ADM$ có $G$ là trung điểm $AD$, $N$ là trung điểm $AM$ (do $MN = NA$).

$\Rightarrow GN$ là đường trung bình $\Delta ADM \Rightarrow MD \parallel GN$.

Mà $GN \subset (NBG) \Rightarrow MD \parallel (NBG)$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow (MCD) \parallel (NBG)$

c)

Trong mặt phẳng $(ASI)$, gọi $H' = DM \cap SI$.

$\Rightarrow H' \in SI \subset (SBC) \Rightarrow H' = DM \cap (SBC) \Rightarrow H \equiv H'$.

Hay $H \in SI$.

Xét $\Delta DGM$ có $I$ là trung điểm $GD$, có $IH \parallel GM$ (do $SI \parallel GM$).

$\Rightarrow IH$ là đường trung bình $\Delta DGM \Rightarrow IH = \dfrac{1}{2}GM$.

Lại có $\dfrac{GM}{SI} = \dfrac{AG}{AI} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow GM = \dfrac{2}{3}SI$.

$\Rightarrow IH = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3}SI = \dfrac{1}{3}SI$.

$\Rightarrow SH = SI - IH = SI - \dfrac{1}{3}SI = \dfrac{2}{3}SI$.

Xét $\Delta SBC$ có $SI$ là đường trung tuyến, $H \in SI$ và $SH = \dfrac{2}{3}SI$.

$\Rightarrow H$ là trọng tâm $\Delta SBC$.

$$\boxed{\text{@bythongtran09}}$$