Xét 1 điểm `M` chuyển động tròn đều trên đường tròn tâm `O`, bán kính `R=A`, với tốc độ góc không đổi `\omega`

Giả sử tại thời điểm ban đầu `t = 0`, bán kính $OM$ tạo với chiều dương trục $Ox$ một góc pha là $\varphi$.

Tại thời điểm $t$ bất kỳ, góc quét được thay đổi, bán kính $OM$ tạo với trục $Ox$ một góc là $\alpha = \omega t + \varphi$.

Khi đó, vị trí hình chiếu $P$ của điểm $M$ lên trục $Ox$ chính là li độ của dao động điều hòa: $x = A \cos(\omega t + \varphi)$

Điểm $M$ chuyển động tròn đều sẽ có véc-tơ vận tốc dài $\vec{v}_M$ với các đặc điểm:

`-` Độ lớn: Bằng tốc độ góc nhân với bán kính quỹ đạo: $v_M = \omega R = \omega A$.

`-` Hướng: Có phương tiếp tuyến với đường tròn tại điểm $M$, và vuông góc với bán kính $OM$.

Vận tốc $v$ của điểm $P$ trên trục $Ox$ về mặt bản chất chính là hình chiếu của véc-tơ vận tốc dài $\vec{v}_M$ lên trục $Ox$.

Vì véc-tơ $\vec{v}_M$ luôn vuông góc với bán kính $OM$, và điểm $M$ quay theo chiều ngược kim đồng hồ, nên góc hợp bởi véc-tơ $\vec{v}_M$ và chiều dương của trục $Ox$ sẽ nhanh pha hơn góc của $OM$ một lượng là $90^\circ$ (tương đương $\dfrac{\pi}{2}$ radian).

Do đó, góc tạo bởi véc-tơ $\vec{v}_M$ so với chiều dương trục $Ox$ là: $\theta = \alpha + \frac{\pi}{2} = \omega t + \varphi + \frac{\pi}{2}$

Giá trị đại số của vận tốc $v$ (chiếu véc-tơ $\vec{v}_M$ lên trục $Ox$) được tính bằng cách nhân độ lớn $v_M$ với cosin của góc $\theta$: $v = v_M \cos\left(\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2}\right)$

Theo tính chất của các cung lượng giác hơn kém nhau $\frac{\pi}{2}$, ta có công thức biến đổi chuẩn: $\cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin(x)$.

Thay $v_M = \omega A$ và áp dụng công thức biến đổi trên:

$v = \omega A \cdot \left( -\sin(\omega t + \varphi) \right)$

$v = -\omega A \sin(\omega t + \varphi)$