Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o$

$\to BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

b. Ta có: $\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^o$

$\to AEDB$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$

$\to \widehat{EDC}=\widehat{EAB}=\widehat{CAB}$

Tương tự: $\widehat{FDB}=\widehat{CAB}$

$\to \widehat{EDC}=\widehat{BDF}$

$\to 90^o-\widehat{EDC}=90^o-\widehat{BDF}$

$\to \widehat{HDE}=\widehat{HDI}$

$\to DH$ là phân giác $\widehat{IDE}$

Mà $DH\perp BD$

$\to DB$ là phân giác ngoài tại $D$ của $\Delta DIE$

$\to \dfrac{BI}{BE}=\dfrac{HI}{HE}$

$\to BI.EH=IH.BE$

c.Kẻ $MG\perp BC, J$ là trung điểm $BC$

Vì $AM$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{ABM}=\widehat{ACM}=90^o$

Ta có:

$\widehat{BNM}=\widehat{BGM}=90^o$
$\to BNGM$ nội tiếp đường tròn đường kính $MB$
$\to \widehat{NGB}=\widehat{NMB}=\widehat{AMB}=\widehat{ABC}$

$\to NG//AC$

Tương tự: $DN//MC, DK//MB, KG//AB$

Do $AB\perp BM, AC\perp NC$

$\to DN\perp NG, DK\perp KG$

$\to DNGK$ nội tiếp đường tròn đường kính $DG$

Ta có:

$\widehat{ADB}=\widehat{ACM}(=90^o)$

$\widehat{ABD}=\widehat{ABC}=\widehat{AMC}$

$\to \Delta ADB\sim\Delta ACM(g.g)$

$\to \dfrac{BD}{CM}=\dfrac{AB}{AM}$

$\to BD=\dfrac{AB\cdot CM}{AM}$

Ta có:

$\widehat{ABM}=\widehat{CGM}(=90^o)$
$\widehat{MAB}=\widehat{MCG}$

$\to \Delta MBA\sim\Delta MGC(g.g)$

$\to \dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AB}{CG}$

$\to CG=\dfrac{AB\cdot MC}{AM}$

$\to BD=CG$

Vì $J$ là trung điểm $DG$

$\to JD=JB-BD=JC-CG=JG$

$\to J$ là trung điểm $DG$

Do $DNGK$ nội tiếp đường tròn đường kính $DG$

$\to J$ là tâm $(DNGK)$

$\to J$ là tâm $(DNK)$